Dosad smo aktere političkog procesa promatrali kako slijede vlastite preferencije i kako strateški djeluju jedni na druge. Ostaje pitanje što se događa kada te pojedinačne preferencije treba spojiti u jednu zajedničku odluku. Kada odluke donosi pojedinac, ekonomska je analiza relativno jednostavna. Pretpostavljamo da osoba ima preferencije i bira opciju koja joj donosi najveću korist. No javne politike rijetko su rezultat odluke jednog pojedinca. One nastaju kroz kolektivni izbor, postupak kojim skupina ljudi s različitim preferencijama dolazi do zajedničke odluke. Pitanje koje se tada postavlja čini se jednostavnim, ali je iznenađujuće složeno. Pitamo se kako od mnoštva pojedinačnih preferencija doći do jedne društvene odluke koja je dosljedna, pravedna i smislena.
U svakodnevnom političkom govoru neprestano koristimo izraze poput „Hrvatska je odlučila”, „Europska unija smatra” ili „volja naroda”. Teorija javnog izbora poziva nas na intelektualnu iskrenost. Skupine nemaju um, nemaju preferencije i nemaju volju, a preferencije imaju samo pojedinci. Proces pretvaranja heterogenih pojedinačnih rang-lista u jedinstvenu „društvenu rang-listu” nije tehnička formalnost, nego prijelaz pun logičkih paradoksa, proceduralnih zamki i neočekivanih ishoda (Arrow 1951.; Sen 1970.; Buchanan i Tullock 1962.).
Na privatnom tržištu problem različitih preferencija rješava se elegantno, kroz sustav cijena i paralelnu potrošnju. Ako vi želite kavu, a ja čaj, oboje možemo biti zadovoljeni. U javnoj sferi većina je dobara i politika nedjeljiva. Ne možemo istodobno imati progresivan i proporcionalan porezni sustav, niti istim proračunskim novcem graditi autocestu prema Splitu i prema Varaždinu. Zbog toga glasovanje postaje mehanizam prisilne koordinacije, a pravila po kojima se glasovi agregiraju postaju odlučujuća za konačni ishod. Ista skupina ljudi, s istim preferencijama, može doći do različitih odluka ovisno o tome kako glasuje.
Poglavlje tu složenost razotkriva u koracima. Počinje Condorcetovim paradoksom, najjednostavnijim primjerom u kojem većina zapada u krug bez pobjednika, te pokazuje da u više dimenzija taj ciklus prerasta u kaotičnu većinu bez ikakve stabilne točke. Odatle problem poopćava do Arrowljeva teorema nemogućnosti, koji pokazuje da nijedno pravilo agregacije ne može istodobno zadovoljiti nekoliko razumnih zahtjeva, a onda na pozicijskim sustavima poput Bordina pravila pokazuje kako se ta nemogućnost razdjeljuje na konkretne kompromise. Zatim traži izlaz u jednovršnim preferencijama i medijanskom glasaču te otkriva koliko moći leži u kontroli dnevnog reda, čime nadzor nad postupkom često odlučuje više od samih preferencija.
Da problem kolektivnog izbora nije tek teorijska mogućnost, najlakše je pokazati s tri birača i tri opcije, A, B i C (Condorcet 1785.). Prvi birač preferira A ispred B ispred C. Drugi preferira B ispred C ispred A. Treći preferira C ispred A ispred B. Svaki pojedinačni birač ima jasne, dosljedne (tranzitivne) preferencije, pa bismo očekivali da i njihov zbroj bude dosljedan.
Definicija 1 Condorcetov paradoks pokazuje da većinsko parno glasovanje može biti ciklično čak i kada svaki birač ima dosljedne (tranzitivne) preferencije, pa A pobjeđuje B, B pobjeđuje C, ali C pobjeđuje A i kolektiv ostaje bez nedvosmislenog pobjednika (Condorcet 1785.).
Ako te opcije uspoređujemo u parovima većinskim glasovanjem, dolazimo do neobičnog ishoda. U izboru između A i B pobjeđuje A (dva od tri birača preferiraju A). U izboru između B i C pobjeđuje B. No u izboru između A i C pobjeđuje C. Dobivamo ciklus u kojem A pobjeđuje B, B pobjeđuje C, ali C pobjeđuje A. Kolektivna „preferencija” tako postaje netranzitivna, iako su sve pojedinačne preferencije bile dosljedne.
Graf koji slijedi prikazuje ishode parnih glasovanja kao strelice među opcijama A, B i C te javlja zatvara li se ciklus ili postoji stabilan Condorcetov pobjednik. Graf je interaktivan, pa izbornici mijenjaju rang-listu svakog od triju birača, čime se vidi koja kombinacija preferencija stvara ciklus, a koja stabilan ishod.
viewof cond_controls = Inputs.form({
v1: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "A ▸ B ▸ C", label: "Birač 1:"}),
v2: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "B ▸ C ▸ A", label: "Birač 2:"}),
v3: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "C ▸ A ▸ B", label: "Birač 3:"})
}){
const parse = (s) => s.split(" ▸ ");
const voters = [parse(cond_v1), parse(cond_v2), parse(cond_v3)];
const prefers = (v, x, y) => v.indexOf(x) < v.indexOf(y);
const pair = (x, y) => {
let wx = 0, wy = 0;
for (const v of voters) (prefers(v, x, y) ? wx++ : wy++);
return wx > wy ? x : y;
};
const ab = pair("A","B"), bc = pair("B","C"), ac = pair("A","C");
const wins = {A:0, B:0, C:0};
[ab, bc, ac].forEach(w => wins[w]++);
const condWinner = ["A","B","C"].find(k => wins[k] === 2);
const isCycle = condWinner === undefined;
const pos = {A: {x: 0, y: 1}, B: {x: 0.87, y: -0.5}, C: {x: -0.87, y: -0.5}};
const nodes = ["A","B","C"].map(k => ({id: k, x: pos[k].x, y: pos[k].y}));
const edges = [["A","B",ab],["B","C",bc],["A","C",ac]].map(([a,b,w]) => {
const loser = w === a ? b : a;
return {x1: pos[w].x, y1: pos[w].y, x2: pos[loser].x, y2: pos[loser].y};
});
const accent = isCycle ? "#C53030" : "#1C7C54";
return Plot.plot({
width: 520,
height: 470,
marginTop: 50,
marginBottom: 64,
style: {fontSize: "13px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {axis: null, domain: [-1.45, 1.45]},
y: {axis: null, domain: [-1.2, 1.55]},
marks: [
Plot.arrow(edges, {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2",
stroke: accent, strokeWidth: 2.5, headLength: 13, inset: 28}),
Plot.dot(nodes, {x: "x", y: "y", r: 22, fill: "white", stroke: "#1C1916", strokeWidth: 2}),
Plot.text(nodes, {x: "x", y: "y", text: "id", fontSize: 18, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([isCycle ? "Ciklus — nema stabilnog pobjednika" : `Condorcetov pobjednik: ${condWinner}`],
{frameAnchor: "top", dy: -28, fill: accent, fontSize: 14, fontWeight: 700}),
Plot.text([`A vs B → ${ab} B vs C → ${bc} A vs C → ${ac}`],
{frameAnchor: "bottom", dy: 34, fill: "#3A332D", fontSize: 12})
]
});
}Što isprobati. (1) Zadržite početni raspored i provjerite kako tri rang-liste koje rotiraju u istom smjeru zatvaraju strelice u krug, pa natpis javlja ciklus bez stabilnog pobjednika. (2) Biraču 2 promijenite samo jedno mjesto u rang-listi i pratite kako se petlja prekida te se pojavljuje Condorcetov pobjednik označen zelenom bojom. (3) Postavite svim trima biračima istu rang-listu pa potom unesite tek malen otklon i uvjerite se da je za ciklus potrebna upravo ona posebna kombinacija suprotstavljenih redoslijeda, a ne bilo koje neslaganje birača.
Posljedica je važna. Kada postoji ciklus, ishod ovisi o redoslijedu glasovanja. Onaj tko kontrolira dnevni red, to jest koje se opcije i kojim redoslijedom stavljaju na glasovanje, može utjecati na konačni rezultat. To je prvi nagovještaj da pravila igre nisu nevažna pozadina, nego da oblikuju same ishode.
Lako je odbaciti taj primjer kao konstrukciju u kojoj su preferencije birača namjerno tako odabrane da proizvedu ciklus. Formalna analiza pokazuje suprotno. McKelveyev teorem o kaotičnoj većini dokazuje da kad se u prostoru odluke pojavi više od jedne dimenzije, ciklusi postaju pravilo, a ne iznimka, i to za gotovo bilo koju raspodjelu preferencija birača (McKelvey 1976.). Ako je ishod prve runde glasovanja pažljivo izabran, agendar može u nekoliko koraka voditi kolektivnu odluku od bilo koje početne točke do bilo koje druge točke u prostoru opcija.
Posljedica je dvostruka. Prvo, intuitivna pretpostavka da se „opće dobro” može jednostavno utvrditi većinom glasova teorijski je neodrživa čim se istodobno odlučuje o više dimenzija. Drugo, stabilnost demokratskih ishoda ne dolazi iz preferencija birača, nego iz proceduralnih ograničenja (pravila glasovanja, jednodimenzionalnih agendi, pravila zaštite nositelja statusa quo) koja sustav izričito uvodi da bi spriječio teoretski kaos.
Upravo zbog tih proceduralnih ograničenja cikluse je u stvarnim tijelima teško izravno opaziti. Parlamenti rijetko glasuju o svim parovima opcija, nego o pomno odabranom redoslijedu amandmana, pa konačni zapisnik pokazuje stabilan ishod čak i kada bi neograničeno parno glasovanje otkrilo cikličku većinu u podlozi. Istraživači zato cikličnost ne mjere izravno, nego je rekonstruiraju iz prostornih modela glasovanja koji iz zabilježenih glasova procjenjuju idealne točke zastupnika u jednoj ili više dimenzija. Što više dimenzija takav model zahtijeva da bi objasnio glasovanje, to je veća vjerojatnost da ispod uređene proceduralne površine leži nestabilna struktura preferencija. Odsutnost vidljivih ciklusa zato nije dokaz da ih nema, nego često znak da ih je procedura unaprijed prikrila.
Da nije riječ samo o teorijskoj mogućnosti pokazuju i izravniji dokazi. Riker je u stvarnim zakonodavnim povijestima prepoznao niz slučajeva u kojima je redoslijed glasovanja, a ne stabilna većinska volja, odlučio ishod, a kontrolirani pokusi s odlučivanjem u odborima potvrđuju da ciklusi nastaju to češće što je više sudionika i što je prostor odluke višedimenzionalniji (Riker 1982.). Cikličnost stoga nije rijetka anomalija, nego latentno svojstvo većinskog odlučivanja koje uređene procedure većinom drže izvan vidokruga.
Koliko stvarnih dimenzija ima zakonodavno odlučivanje moguće je i izmjeriti. Poole i Rosenthal rekonstruirali su idealne točke svih članova američkog Kongresa kroz više od dva stoljeća poimeničnih glasovanja postupkom prostornog skaliranja (NOMINATE) i pokazali da jedna jedina dimenzija objašnjava oko 80 % zabilježenih glasova, a druga dimenzija gotovo sav preostali sustavni dio (Poole i Rosenthal 2007.). Niska dimenzionalnost nije dokaz da temeljne preferencije nisu višedimenzionalne, nego pokazuje koliko snažno stranačka disciplina i proceduralna pravila stišću prostor odlučivanja na jednu lijevo-desnu os. Kada ta stega oslabi, dimenzionalnost mjereno raste, a s njom i učestalost obrnutih i nestabilnih ishoda, što je empirijski trag McKelveyeva teorijskog rezultata u stvarnom parlamentu.
Čim se otvori druga dimenzija ili oslabi stranačka stega, latentni ciklus ponovno ispliva na površinu, pa presudnu ulogu preuzima onaj tko kontrolira redoslijed odlučivanja. Sastavljanje dnevnog reda zato nije tehnički detalj postupka, nego mjesto na kojem se neodređenost većinske volje pretvara u konkretan ishod.
Ciklus nije samo udžbenički kuriozitet. Zamislimo raspravu o energetskoj politici s tri skupine i tri opcije (nuklearna energija, plin, obnovljivi izvori). Industrija rangira nuklearnu ispred plina, a plin ispred obnovljivih, ekolozi i turizam obnovljive ispred nuklearne, a nuklearnu ispred plina, dok politički centar rangira plin ispred obnovljivih, a obnovljive ispred nuklearne. U parnom glasovanju nastaje ciklus bez stabilnog pobjednika, pa ishod uvelike ovisi o tome tko određuje redoslijed glasovanja (tzv. agenda-setter, primjerice predsjednik odbora, Vlada ili predsjedavajući Vijeća EU). U Hrvatskom saboru ta moć često leži u rukama Vlade pri pripremi proračuna, a slične dinamike vide se u usklađivanju paketa „Fit for 55” između energetskih interesa država članica EU.1
1 Daljnje čitanje: McKelvey (1976), Intransitivities in Multidimensional Voting Models and Some Implications for Agenda Control.
Različiti sustavi glasovanja vode do različitih ishoda, što dodatno naglašava da nijedan mehanizam nije neutralan (Gibbard 1973.; Satterthwaite 1975.). Tablica 1 sažima ključne prednosti i nedostatke najvažnijih sustava.
| Sustav glasovanja | Jednostavnost | Otpornost na strateško glasovanje | Poštivanje Condorcetova pobjednika | Primjena u praksi | Glavni nedostatak |
|---|---|---|---|---|---|
| Prosta većina | visoka | niska | nisko | 1. krug predsjedničkih izbora (RH) | rasipanje glasova, „manje zlo” |
| Dvokružni većinski | srednja | srednja | srednje | predsjednički izbori (RH) | visoki troškovi kampanje |
| Proporcionalni (d’Hondt) | srednja | srednja | nisko | izbori za Sabor i Europski parlament | fragmentacija, intenzivan logrolling |
| Rangirano glasovanje (RCV) | niska | visoka | srednje | rijetko u EU | složeno brojanje |
Iz tih razlika među sustavima slijedi jedan dublji rezultat. Gibbard i Satterthwaite dokazali su da je svaki razuman izborni sustav s barem tri opcije podložan strateškom glasovanju, odnosno da u nekim situacijama biraču nije u interesu glasati za svoju iskreno najdražu opciju, nego taktički za onu koja ima veće izglede (Gibbard 1973.; Satterthwaite 1975.). Formalno, pravilo koje nijednom biraču nikad ne dopušta da lažnim rangiranjem dobije ishod koji više voli, a bira između barem tri opcije, mora biti diktatorsko u smislu da ishod ovisi o jednom te istom biraču bez obzira na ostale. Manipulabilnost zato nije mana lošeg dizajna koju bi se boljim pravilom moglo ukloniti, nego ugrađeno svojstvo svake agregacije preferencija.
Koliko će se ta ugrađena manipulabilnost stvarno iskoristiti ograničava dostupna informacija. Uspješno taktiziranje, poput pokapanja najjačeg suparnika spuštanjem na dno liste pod Bordinim pravilom, traži gotovo potpuno poznavanje tuđih listića, što je u velikom biračkom tijelu rijetko dostupno, pa se većina birača i pod manipulabilnim pravilima u praksi drži iskrenog poretka (Mueller 2003.). Posljedica je da zabilježeni glasovi ne otkrivaju nužno stvarne preferencije birača, što dodatno otežava tumačenje izbornih i parlamentarnih ishoda kao izravnog izraza „volje naroda”.
Dok Condorcetov paradoks pokazuje da većinsko glasovanje može proizvesti cikličke i nestabilne ishode, Kenneth Arrow postavio je pitanje na fundamentalnoj razini. Pitao se postoji li uopće ikakav sustav agregacije koji bi pouzdano i razumno pretvarao pojedinačne preferencije u društvenu odluku. Njegov odgovor, Arrowljev teorem nemogućnosti (Arrow 1951.), jedan je od najsnažnijih i najpesimističnijih rezultata u ekonomskoj znanosti 20. stoljeća.
Definicija 2 Arrowljev teorem nemogućnosti dokazuje da ne postoji sustav agregacije individualnih preferencija koji istodobno zadovoljava neograničenu domenu, kolektivnu racionalnost, Pareto-efikasnost, neovisnost o nevažnim alternativama i nediktatorstvo kada postoje barem tri alternative (Arrow 1951.).
Arrow je tražio pravilo koje istodobno zadovoljava nekoliko razumnih i naizgled minimalnih uvjeta. Neograničena domena traži da pravilo radi za sve moguće kombinacije pojedinačnih preferencija. Kolektivna racionalnost traži da društveni poredak bude dosljedan, odnosno potpun i tranzitivan. Pareto-efikasnost traži da, ako svi preferiraju A ispred B, i društvo preferira A ispred B. Neovisnost o nevažnim alternativama zahtijeva da se rangiranje između A i B ne mijenja uvođenjem ili uklanjanjem treće alternative C. Konačno, nediktatorstvo isključuje mogućnost da jedan pojedinac nametne svoju volju cijeloj skupini bez obzira na preferencije ostalih.
Arrowljev je dokaz pokazao da nijedno pravilo ne može zadovoljiti svih pet uvjeta istodobno čim postoje barem tri alternative. Ne postoji savršen demokratski mehanizam agregacije preferencija, pa svaki realan sustav glasovanja mora žrtvovati barem jedno od poželjnih svojstava. To ne znači da je demokracija besmislena, nego da svako pravilo odlučivanja ima ugrađena ograničenja i moguće nedosljednosti, te da izbor pravila uvijek uključuje kompromise.
Intuicija dokaza objašnjava zašto nemogućnost nije puka nezgoda s jednim nezgodnim uvjetom. Iz neograničene domene, Pareto-uvjeta i neovisnosti o nevažnim alternativama slijedi da nad barem jednim parom alternativa postoji odlučujuća skupina, takva da njezino slaganje određuje društveni izbor bez obzira na ostale. Isti uvjeti potom tu odlučnost šire s jednog para na sve parove i istodobno je stežu sa skupine na sve manji krug, sve dok se ne svede na jednog jedinog pojedinca. Taj je pojedinac upravo diktator kojeg peti uvjet zabranjuje, pa pet naizgled minimalnih zahtjeva ne može stajati zajedno. Nemogućnost je zato strukturna posljedica istodobnog inzistiranja na dosljednosti, parnoj neovisnosti i poštivanju jednoglasja (Arrow 1963.; Sen 1970.).
Tablica 2 pokazuje što svaki uvjet zahtijeva i što se događa kada se prekrši.
| Uvjet | Što zahtijeva | Posljedica kršenja u stvarnom svijetu |
|---|---|---|
| Neograničena domena | radi za sve moguće preferencije | blokade u duboko polariziranim društvima |
| Kolektivna racionalnost | društveni poredak je dosljedan | cikličke većine i nestabilni ishodi |
| Pareto-efikasnost | poštuje jednoglasne preferencije | loši kompromisi koje nitko zapravo ne želi |
| Neovisnost o nevažnim alternativama | rang A i B ne ovisi o C | „spoiler” efekt trećih opcija |
| Nediktatorstvo | nema diktatora | potpuna dosljednost zahtijeva koncentraciju moći |
Posljedice teorema vide se u izbornim procesima. Pojava treće ili četvrte relevantne opcije (primjerice Mosta ili Možemo!) može osjetno promijeniti odnos snaga između dvije velike stranke, iako birači nisu bitno promijenili mišljenje o tim dvjema strankama, što je upravo kršenje uvjeta neovisnosti o nevažnim alternativama. Na razini EU slična se dinamika vidi pri glasovanju kvalificiranom većinom u Vijeću, gdje stavovi pojedinih zemalja mogu blokirati ili izmijeniti pakete poput fiskalnih pravila ili „Fit for 55”.2
2 Daljnje čitanje: McCune i Wilson (2023), Ranked-choice voting and the spoiler effect (Public Choice).
Arrowljev teorem pokazuje da nijedno pravilo ne može zadovoljiti sve uvjete odjednom, no pravila se razlikuju po tome koji uvjet žrtvuju i kako. Ciklusi većine, primjerice, nastaju jer parno glasovanje odbacuje obavijest o tome koliko su opcije međusobno udaljene na svakom listiću, dok pozicijski sustavi idu suprotnim putem i čitaju cijelu rang-listu, a ne samo prvi izbor. Pluralno glasovanje, najraširenije pravilo, leži na kraju tog raspona jer broji isključivo prvo mjesto, a sve o rasporedu ostalih kandidata zanemaruje. Kandidat kojeg vatrena manjina obožava, a tiha ga većina drži najgorom opcijom, pod pluralnim pravilom može pobijediti upravo zato što rang-lista te većine nikad ne uđe u zbroj.
Borda je 1781. godine predložio da se svakom kandidatu dodijeli broj bodova prema njegovu mjestu na biračevoj rang-listi, čime u zbroj ulazi cijeli poredak, a ne samo vrh (Borda 1781.). Zamisao nije bila posve nova jer je sličan postupak za izbor careva opisao Nikola Kuzanski još u prvoj polovici 15. stoljeća, no tek je Bordin memorandum Francuskoj akademiji znanosti pokrenuo formalnu raspravu o svojstvima takvih pravila (McLean i Urken 1995.).
Definicija 3 Bordino pravilo (Borda count) svakom kandidatu dodjeljuje bodove prema mjestu na svakoj rang-listi, pri čemu uz \(m\) kandidata prvo mjesto nosi \(m-1\) bodova, drugo \(m-2\), i tako redom do nule, a pobjeđuje kandidat s najvećim ukupnim zbrojem.
Bordino je pravilo poseban slučaj šire obitelji pozicijskih sustava. Pozicijski sustav određen je vektorom težina \(w = (w_1, w_2, \dots, w_m)\) koji \(k\)-tom mjestu na listiću pridružuje \(w_k\) bodova, uz \(w_1 \ge w_2 \ge \dots \ge w_m\) i \(w_1 > w_m\). Pojedini sustavi tek su različiti izbori tog vektora. Pluralno glasovanje koristi \(w = (1, 0, \dots, 0)\) jer broji samo prvo mjesto, antipluralno glasovanje koristi \(w = (1, \dots, 1, 0)\) jer kažnjava samo posljednje, a Bordin sustav uzima ravnomjeran pad
\[w = (m-1,\ m-2,\ \dots,\ 1,\ 0),\]
u kojem je bodovna razlika između svaka dva susjedna mjesta jednaka. Upravo taj ravnomjeran pad daje Bordi svojstva po kojima se izdvaja.
Da pozicijski i parni pristup pri istim preferencijama mogu proglasiti različite pobjednike, pokazuje primjer triju kandidata \(A\), \(B\) i \(C\) pred devetnaest glasača. Deset ih rangira \(A \succ B \succ C\), a preostalih devet \(B \succ C \succ A\). U parnim dvobojima \(A\) pobjeđuje \(B\) s deset glasova prema devet i jednako tako svladava \(C\), dok \(B\) uvjerljivo nadjačava \(C\). Kandidat \(A\) time je Condorcetov pobjednik jer nadvladava svakog suparnika ponaosob. Zbrajanje bodova uz Bordine težine \(2\), \(1\) i \(0\) daje drugačiju sliku.
\[B(A) = 10 \cdot 2 + 9 \cdot 0 = 20, \quad B(B) = 10 \cdot 1 + 9 \cdot 2 = 28, \quad B(C) = 10 \cdot 0 + 9 \cdot 1 = 9.\]
Bordin pobjednik je \(B\) s dvadeset i osam bodova, dok Condorcetov pobjednik \(A\) pada na drugo mjesto. Razlog leži u strukturi preferencija. Devetorica koja vode \(B\) stavljaju \(A\) na samo dno, pa je \(A\) za gotovo polovicu biračkog tijela najgora opcija premda tijesno pobjeđuje u svakom paru. Kandidat \(B\) nikomu nije najgori i svima je barem drugi, što ga čini snažnijim kompromisom. Parno glasovanje tu razliku ne vidi jer svaki par mjeri odvojeno od trećeg kandidata, dok je Bordin zbroj očuva.
Odnos dvaju pravila lakše je vidjeti nego pratiti kroz brojeve. Graf koji slijedi prikazuje Bordin zbroj svakog kandidata kao stupce i istodobno javlja tko je Condorcetov pobjednik, pa se odmah razabire slažu li se dva pravila ili se razilaze. Graf je interaktivan, pa klizači mijenjaju koliko birača drži svaki od šest mogućih poredaka triju kandidata.
viewof borda_controls = Inputs.form({
abc: Inputs.range([0, 20], {value: 10, step: 1, label: "A ▸ B ▸ C:"}),
acb: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "A ▸ C ▸ B:"}),
bca: Inputs.range([0, 20], {value: 9, step: 1, label: "B ▸ C ▸ A:"}),
bac: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "B ▸ A ▸ C:"}),
cab: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "C ▸ A ▸ B:"}),
cba: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "C ▸ B ▸ A:"})
}){
const w = borda_controls;
const groups = [
{rank: ["A","B","C"], n: w.abc},
{rank: ["A","C","B"], n: w.acb},
{rank: ["B","C","A"], n: w.bca},
{rank: ["B","A","C"], n: w.bac},
{rank: ["C","A","B"], n: w.cab},
{rank: ["C","B","A"], n: w.cba}
];
const cands = ["A","B","C"];
// Bordin zbroj: prvo mjesto 2, drugo 1, treće 0
const borda = {A: 0, B: 0, C: 0};
for (const g of groups) {
borda[g.rank[0]] += 2 * g.n;
borda[g.rank[1]] += 1 * g.n;
borda[g.rank[2]] += 0 * g.n;
}
// Parne usporedbe i Condorcetov pobjednik
const prefers = (rank, x, y) => rank.indexOf(x) < rank.indexOf(y);
const pairCount = (x, y) => d3.sum(groups, g => prefers(g.rank, x, y) ? g.n : 0);
const beats = (x, y) => {
const xy = pairCount(x, y), yx = pairCount(y, x);
return xy > yx ? x : (yx > xy ? y : null);
};
const condWinner = cands.find(c => cands.filter(o => o !== c).every(o => beats(c, o) === c));
const maxB = d3.max(cands, c => borda[c]);
const bordaWinners = cands.filter(c => borda[c] === maxB && maxB > 0);
const bordaWinner = bordaWinners.length === 1 ? bordaWinners[0] : null;
const agree = bordaWinner && condWinner && bordaWinner === condWinner;
const accent = agree ? "#1C7C54" : "#6B1F26";
const data = cands.map(c => ({cand: c, score: borda[c], isWin: c === bordaWinner}));
const condText = condWinner ? `Condorcetov pobjednik: ${condWinner}` : "Condorcetov pobjednik: nema (ciklus)";
const bordaText = bordaWinner ? `Bordin pobjednik: ${bordaWinner} (${borda[bordaWinner]} bod.)` : "Bordin pobjednik: neodlučeno";
const verdict = (bordaWinner && condWinner) ? (agree ? "Pravila se slažu" : "Pravila se razilaze") : "";
return Plot.plot({
width: 520,
height: 410,
marginLeft: 55,
marginTop: 66,
marginBottom: 45,
style: {fontSize: "13px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {label: "Kandidat", domain: cands},
y: {label: "↑ Bordin zbroj", domain: [0, Math.max(10, maxB * 1.18)], grid: true},
marks: [
Plot.ruleY([0], {stroke: "#C9C3B8"}),
Plot.barY(data, {x: "cand", y: "score", fill: d => d.isWin ? "#4A6B5C" : "#C9BBA3"}),
Plot.text(data, {x: "cand", y: "score", text: d => d.score, dy: -8,
fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([bordaText], {frameAnchor: "top", dy: -48, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: "#4A6B5C"}),
Plot.text([condText], {frameAnchor: "top", dy: -30, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([verdict], {frameAnchor: "top", dy: -10, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: accent})
]
});
}Što isprobati. (1) Zadržite početni raspored u kojem deset birača drži A ▸ B ▸ C, a devet B ▸ C ▸ A, i potvrdite da Bordin pobjednik B nije ujedno Condorcetov pobjednik A. (2) Postupno povećavajte broj birača koji drže A ▸ B ▸ C i pratite kako Bordin zbroj kandidata A sustiže pa prestiže B, sve dok se dva pravila ne počnu slagati. (3) Rasporedite glasove u tri jednake skupine koje rotiraju u istom smjeru, A ▸ B ▸ C, B ▸ C ▸ A i C ▸ A ▸ B, i vidjet ćete kako parno glasovanje upada u ciklus bez Condorcetova pobjednika, dok Bordin zbroj i dalje uredno proglašava pobjednika.
Da taj ravnomjeran raspored bodova nije proizvoljan, dokazao je Young (Young 1974.). Pokazao je da je Bordino pravilo jedini pozicijski sustav koji istodobno zadovoljava neutralnost, vjernost prema kojoj pri jednom biraču društveni poredak mora biti njegova rang-lista, poništavanje suprotstavljenih parova i konzistentnost prema kojoj dvije skupine koje odvojeno rangiraju \(A\) iznad \(B\) moraju i zajedno rangirati \(A\) iznad \(B\). Svako odstupanje od linearnih težina ruši konzistentnost, što sustavi s eliminacijskim krugovima redovito i čine.
Dublje objašnjenje zašto se sustavi uopće razilaze dao je Saari geometrijskom analizom prostora svih mogućih rang-lista (Saari 1995.). Pri tri kandidata taj je prostor šesterodimenzionalan jer postoji šest poredaka, a Saari ga rastavlja na međusobno okomite dijelove od kojih svaki nosi jednu vrstu biračkog ponašanja. Na osnovnom dijelu, gdje su preferencije međusobno suglasne, svi se sustavi slažu i paradoksa nema.
Razlike izviru iz dvaju preostalih dijelova. Jedan sadrži cikličke komponente poput Condorcetove trojke, i upravo taj dio Bordin zbroj posve poništava, dok parne metode čini nestabilnima. Drugi se tiče obrtanja preferencija, gdje je Bordino pravilo jedini pozicijski sustav kod kojeg potpuno obrnut poredak svih birača daje i potpuno obrnut društveni poredak, dok ga pluralno glasovanje grubo krši. Iz te dekompozicije slijedi da Bordino pravilo proizvodi najmanje paradoksa među pozicijskim sustavima, što ga čini informacijski najstabilnijim.
Bordino pravilo nije ostalo na papiru. Pacifička država Nauru bira svoj parlament Dowdallovom inačicom u kojoj bodovi opadaju harmonijski, kao 1, 1/2, 1/3 i dalje, čime se još jače nagrađuje širok konsenzus. Slovenija Bordinim pravilom bira zastupnike talijanske i mađarske manjine u Državni zbor, gdje je cilj izabrati predstavnika kojeg cijela malobrojna zajednica prihvaća, a ne onoga koji tek skupi najviše prvih glasova. Izvan politike isti se postupak koristi za izbor najboljih sportaša i u glasovanju za Pjesmu Eurovizije, gdje se zbrajaju poredci mnogih ocjenjivača.3
3 Daljnje čitanje: Reilly (2002), Social Choice in the South Seas (International Political Science Review); Fraenkel i Grofman (2014), The Borda Count and its Real-World Alternatives (Australian Journal of Political Science).
Cijena te stabilnosti je osjetljivost na taktičko rangiranje, koju obuhvaća opći Gibbard-Satterthwaiteov rezultat o manipulabilnosti. Hibridna pravila pokušavaju spojiti obje vrline tako da Bordin zbroj koriste za postupno ispadanje kandidata, pa Nansonov i Baldwinov sustav uvijek izaberu Condorcetova pobjednika kada on postoji, ali zauzvrat gube monotonost (Nanson 1882.; Baldwin 1926.). Nijedan izbor pravila time ne izmiče kompromisu između suparničkih vrijednosti koji je Arrowljev teorem već uzdigao s razine pojedinačnih sustava na razinu načela.
Cikluse i nedosljednosti ne moramo uvijek očekivati. Ciklusi iz prethodnih primjera nastaju jer preferencije birača nemaju zajedničku strukturu, no čim ta struktura postoji, kolektivni izbor može biti stabilan. Ključan je slučaj onaj u kojem se sve opcije mogu poredati na jednoj dimenziji, primjerice na osi „manje – više javne potrošnje”, a svaki birač ima na njoj jednu najdražu točku. Takve preferencije nazivamo jednovršnima (single-peaked preferences).
Definicija 4 Jednovršne preferencije (single-peaked preferences) su preferencije pri kojima svaki birač ima jednu najdražu točku na nekoj dimenziji politike, a privlačnost svake opcije monotono pada s udaljenošću od te točke; ta struktura jamči stabilnost ishoda većinskog glasovanja.
Kada su preferencije jednovršne i odlučuje se o jednoj dimenziji, većinsko glasovanje proizvodi stabilan ishod, i to uvijek isti. Pobjeđuje opcija koja je najbliža sredini rasporeda biračkih preferencija, a birača koji se ondje nalazi nazivamo medijanskim glasačem. To je sadržaj teorema o medijanskom glasaču (Black 1948.), koji ćemo detaljnije primijeniti u poglavlju o strankama i izborima.
Definicija 5 Medijanski glasač je birač čija idealna točka leži u sredini rasporeda svih birača; prema teoremu o medijanskom glasaču (Black 1948.), kada su preferencije jednovršne i odluka je jednodimenzionalna, pobjeđuje opcija kojoj je taj birač najbliži.
Medijanski glasač važan je jer pokazuje da kolektivni izbor nije nužno kaotičan. No njegovi su uvjeti zahtjevni jer stvarne političke odluke rijetko su jednodimenzionalne. Kada se istodobno odlučuje o više dimenzija (porezi, zdravstvo, vanjska politika, okoliš), jednovršnost se gubi, ciklusi se vraćaju, a moć dnevnoga reda ponovno raste (McKelvey 1976.).
Pitanje kada jednovršnost vrijedi u stvarnoj politici ima konkretan odgovor. Ona vrijedi otprilike u onoj mjeri u kojoj se javna rasprava može svesti na jednu lijevo-desnu os, a izrazito slabi kada birač istodobno mora rangirati paket politika koje uključuju različite vrijednosne dimenzije. Klasičan primjer je porezno-socijalna politika u kojoj se pitanje veličine države miješa s pitanjima poreznih olakšica, fiskalnog pravila i namjene rashoda. Birač koji preferira niže opće stope može istodobno preferirati visoke ciljane transfere, što ga čini jednovršnim u jednoj dimenziji i dvovršnim u drugoj.
Šira lekcija dolazi iz Senove kritike, koja pokazuje da se jednovršnost gubi gotovo pravilom čim politička podjela uvodi pitanja identiteta, povjerenja u institucije ili kulturne pripadnosti (Sen 1970.). Te dimenzije nisu „šumovi” u inače čistoj ekonomskoj raspravi, nego strukturni dio modernog političkog izbora, što objašnjava zašto je u zadnja dva desetljeća stabilnost ishoda većinskog glasovanja u demokracijama zapadnog svijeta opala istodobno s rastom dimenzionalnosti njihovih političkih sustava.
Čak i kada su kolektivne preferencije cikličke, odluke se u praksi moraju donijeti, proračun se usvaja, zakoni donose, politike provode. Ključno pitanje postaje tko i kako prekida cikluse te usmjerava konačni ishod. Odgovor leži u moći kontrole dnevnog reda (agenda-setting power), to jest u sposobnosti da se odredi o čemu će se glasovati, kojim redoslijedom i u kojem obliku (McKelvey 1976.; Romer i Rosenthal 1978.).
Definicija 6 Moć kontrole dnevnog reda (agenda-setting power) je sposobnost određivanja o čemu će se glasovati, kojim redoslijedom i u kojem obliku, čime agendar može usmjeriti konačni ishod čak i u uvjetima cikličnih preferencija (McKelvey 1976.; Romer i Rosenthal 1978.).
Osoba ili tijelo koje oblikuje proceduru, primjerice predsjednik saborskog odbora, Vlada ili predsjedavajući Vijeća EU, često ima veću stvarnu moć od same većine glasova. Pažljivim biranjem redoslijeda glasovanja moguće je usmjeriti ishod prema željenoj alternativi i unutar istog skupa preferencija.
Manipulacija ne staje na redoslijedu glasovanja. William Riker tu širu vještinu naziva herestetikom (heresthetics), umijećem strukturiranja političkog prostora kojim se postojeća većina razbija uvođenjem nove dimenzije odlučivanja (Riker 1986.). Onaj tko gubi pod trenutnom podjelom ne pokušava uvjeriti protivnike da promijene mišljenje, nego u raspravu ubacuje novo pitanje i, primjerice, ekonomski prijedlog poveže s nacionalnim identitetom ili sigurnošću, čime dotadašnju koaliciju cijepa na frakcije i otvara prostor za novu pobjedničku većinu. Herestetika je drugo lice McKelveyeva rezultata jer pokazuje da strateški akter višedimenzionalnost prostora ne mora čekati, nego je može i sam stvoriti.
Snaga te moći nije svuda jednaka. Komparativni dizajn parlamentarnih procedura pokazuje da se agendar kreće na spektru čija se dva ekstrema mogu prikazati istim modelom. Na jednom kraju nalazi se zatvoreno pravilo, u kojem agendar predlaže jednu jedinu alternativu, a parlament o njoj može glasovati samo „za” ili „protiv”. Tu je moć agendara teorijski najveća, a jasno se vidi u proceduri donošenja proračuna u nekim francuskim i britanskim aranžmanima (Romer i Rosenthal 1978.). Na drugom kraju nalazi se otvoreno pravilo, u kojem svaki zastupnik može predlagati izmjene, raspravljati o njima i predlagati alternative, što ishod približava medijanu zastupnika i smanjuje moć inicijative.
Većina stvarnih demokracija leži između tih krajeva i kombinira različite vrste pravila za različite tipove zakona. Pravila pojačane većine za ustavne i fiskalne zakone tom mješavinom dodatno mijenjaju ravnotežu jer čak ni agendar s povlaštenim pristupom ne može iznad pojedinih pragova nadvladati podijeljeni parlament. Pitanje koliko će u jednoj demokraciji moći imati onaj tko kontrolira dnevni red zato nije pitanje pojedinaca, nego pitanje institucionalnog dizajna.
Kada se ciklusi moraju prekinuti, dolazi do kompromisa, ali kompromisi u politici rijetko predstavljaju optimalno srednje rješenje. Često nastaju kroz trgovanje glasovima (logrolling), pri čemu zastupnici uzajamno podržavaju projekte kako bi osigurali podršku za vlastite. Rezultat nije prosjek, nego zbroj interesa, više projekata i veća javna potrošnja nego što bi većina birača samostalno odobrila (Buchanan i Tullock 1962.). Formalni model takvog pregovaranja, u kojem predlagatelj proračuna minimalnu pobjedničku koaliciju gradi kupnjom najjeftinijih glasova, razvili smo u poglavlju o teoriji igara.
Slika ipak nije jednoznačno negativna. Obično većinsko glasovanje broji glave, ali ne mjeri koliko je kome do čega stalo, pa može odbiti mjeru koja malobrojnoj, ali snažno zainteresiranoj skupini znači mnogo, a ravnodušnoj većini šteti tek neznatno. Trgovanje glasovima upravo tu prazninu popunjava jer dopušta da se glas o pitanju koje nam je sporedno zamijeni za podršku o pitanju koje nam je važno, čime mogu proći obostrano korisni dogovori koje bi anonimno glasovanje odbacilo (Buchanan i Tullock 1962.). Isti mehanizam postaje štetan kada koalicija koja trguje prebaci trošak na one koji u trgovini ne sudjeluju, pa neto učinak na blagostanje nije unaprijed zadan, nego ovisi o tome jesu li koristi koncentrirane na sudionike ili su troškovi rašireni na vanjske strane. Zato Buchanan i Tullock logrolling i ne promatraju kao puku patologiju, nego kao razlog zašto je dizajn ustavnih pravila važniji od pojedinačnog ishoda.
Tu se mehaniku najlakše vidi na slici dobitaka i gubitaka dvaju zastupnika. Graf koji slijedi prikazuje dva projekta. Projekt A koristi prvom zastupniku a šteti drugom, projekt B obrnuto, pa nijedan sam ne bi prošao. Tek njihov spoj, A plus B, oba zastupnika smješta u područje u kojem obojica dobivaju, čime paket dobiva većinu. Graf je interaktivan, pa klizači mijenjaju dobitak od vlastitog projekta i gubitak od tuđega.
{
const g = lr_controls.g, l = lr_controls.l;
const A = {x: g, y: -l}, B = {x: -l, y: g}, AB = {x: g - l, y: g - l};
const passes = AB.x > 0 && AB.y > 0;
return Plot.plot({
width: 540,
height: 500,
marginLeft: 56,
marginTop: 52,
marginBottom: 50,
style: {fontSize: "12px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {label: "Dobitak / gubitak zastupnika 1 →", domain: [-10, 10]},
y: {label: "↑ Dobitak / gubitak zastupnika 2", domain: [-10, 10]},
marks: [
Plot.rect([{x1: 0, x2: 10, y1: 0, y2: 10}], {x1: "x1", x2: "x2", y1: "y1", y2: "y2", fill: "#4A6B5C", fillOpacity: 0.13}),
Plot.text([{x: 9.6, y: 9.4}], {x: "x", y: "y", text: ["oba dobivaju"], textAnchor: "end", fill: "#4A6B5C", fontSize: 11, fontWeight: 600}),
Plot.ruleX([0], {stroke: "#1C1916", strokeWidth: 1}),
Plot.ruleY([0], {stroke: "#1C1916", strokeWidth: 1}),
Plot.link([{x1: A.x, y1: A.y, x2: AB.x, y2: AB.y}], {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2", stroke: "#6B6357", strokeDasharray: "3,3"}),
Plot.link([{x1: B.x, y1: B.y, x2: AB.x, y2: AB.y}], {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2", stroke: "#6B6357", strokeDasharray: "3,3"}),
Plot.dot([A], {x: "x", y: "y", r: 6, fill: "#6B1F26", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.dot([B], {x: "x", y: "y", r: 6, fill: "#4A6B5C", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.dot([AB], {x: "x", y: "y", r: 7, fill: "#1C1916", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.text([A], {x: "x", y: "y", text: ["A"], dx: 12, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#6B1F26"}),
Plot.text([B], {x: "x", y: "y", text: ["B"], dx: -12, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#4A6B5C"}),
Plot.text([AB], {x: "x", y: "y", text: ["A+B"], dy: -14, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([`Paket A+B ${passes ? "prolazi (oba dobivaju)" : "pada"}`],
{frameAnchor: "top", dy: -32, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: passes ? "#1C7C54" : "#6B1F26"})
]
});
}Što isprobati. (1) Postavite dobitak veći od gubitka i točka A+B sleti u zeleno polje u kojem oba zastupnika dobivaju, pa paket prolazi iako bi svaki projekt zasebno pao. (2) Smanjite dobitak ispod gubitka i A+B padne u suprotni kut, pa trgovina glasovima više nije obostrano korisna. (3) Primijetite da pojedinačni projekti A i B uvijek leže izvan zelenog polja, jer svaki jednom zastupniku donosi gubitak, a tek ih spajanje čini prihvatljivima objema stranama.
Pri usvajanju državnog proračuna u Hrvatskoj zastupnici iz različitih regija često uzajamno podržavaju infrastrukturne projekte (autoceste, luke, bolnice), iako bi svaki projekt zasebno teško prošao, pa su rezultat brojni „politički” projekti niske ekonomske opravdanosti. Na razini EU pregovori o Višegodišnjem financijskom okviru i fondu NextGenerationEU uključuju pakete u kojima se poljoprivredne subvencije trguju za kohezijske ili zelene fondove, pa je konačni paket veći i skuplji nego što bi ga ijedna zemlja samostalno podržala. Klasičan svjetski primjer iste logike jest američki pork-barrel, u kojem kongresnici podržavaju projekte kolega u zamjenu za podršku vlastitima.4
4 Daljnje čitanje: Weingast, Shepsle i Johnsen (1981), The Political Economy of Benefits and Costs: A Neoclassical Approach to Distributive Politics (JPE).
Takvi kompromisi često vode do neintuitivnih i neučinkovitih ishoda. Tablica 3 sažima njihove tipične oblike i posljedice za javne financije.
| Tip kompromisa | Karakteristika | Posljedica za javne financije |
|---|---|---|
| Logrolling (trgovanje) | zbroj projekata umjesto prosjeka | prekomjerna potrošnja, pork-barrel efekti |
| Polovičan kompromis | ni A ni B, nego slaba verzija C | „bačeni novac”, preskupo da bi bilo beznačajno |
| Paketiranje | veliki omnibus zakoni | teško je procijeniti stvarne učinke |
| Strateška neodređenost | detalji se ostavljaju za kasnije | jačanje birokratske moći i pravne nesigurnosti |
Teorija kolektivnog izbora nije samo apstraktna logička vježba. Ona ima izravne posljedice za razumijevanje javnih politika. Prvo, pokazuje da „volja naroda” nije uvijek jednoznačno definiran pojam jer ovisi o pravilima kroz koja se izražava. Drugo, objašnjava zašto je kontrola dnevnog reda izvor moći, budući da onaj tko određuje o čemu se i kojim redoslijedom glasuje oblikuje ishod. Treće, opravdava postojanje ustavnih i proceduralnih pravila koja ograničavaju proizvoljnost i daju odlukama stabilnost i predvidljivost, primjerice pravila pojačane većine (supermajority) za poreze i dugoročne fiskalne obveze (Buchanan i Tullock 1962.; Mueller 2003.).
Ako „društveni izbor” nije rezultat racionalnog traženja općeg blagostanja, nego ishod nesavršenih pravila i strateškog ponašanja, tada mnoge neučinkovite ili fiskalno neodržive politike prestaju biti anomalija i postaju predvidiv ishod institucionalnog dizajna. Kada sama agregacija preferencija može proizvesti nedosljedne ili manipulabilne ishode, moramo pažljivo analizirati konkretne aktere koji djeluju unutar tih pravila i koji ih, kad mogu, oblikuju u svoju korist, a to su birači, stranke, interesne skupine i birokracija.
Condorcet i Arrow pokazali su da ni logički savršen mehanizam agregacije ne postoji, jednovršne preferencije i medijanski glasač da stabilnost dolazi kao poseban slučaj, a moć dnevnoga reda da konačni ishod ovisi o tome tko oblikuje proceduru. Zajednička je pouka da pravila nisu neutralna pozadina kolektivne odluke, nego njezin tvorac. Upravo zato analiza javnih politika ne može stati na pitanju što birači žele, nego mora prijeći na pitanje pod kojim pravilima i kroz koje aktere se te želje pretaču u odluke. Tim akterima, počevši od stranaka i izbornog natjecanja, posvećena su poglavlja koja slijede.
Kolektivni izbor pretvara raznolike pojedinačne preferencije u jednu društvenu odluku, no taj prijelaz nije tehnička formalnost. Condorcetov paradoks pokazuje da većinsko glasovanje može biti ciklično, a Arrowljev teorem nemogućnosti da nijedno pravilo ne može istodobno zadovoljiti sve razumne uvjete pravednosti i dosljednosti. Jednovršne preferencije i medijanski glasač vraćaju stabilnost, ali samo kao poseban slučaj, dok kontrola dnevnog reda otkriva da onaj tko određuje redoslijed glasovanja oblikuje i ishod. Zato „volja naroda” ovisi o pravilima kroz koja se izražava, a mnoge neučinkovite politike postaju predvidiv ishod institucionalnog dizajna, a ne anomalija. Tko su akteri koji ta pravila koriste i kako se natječu za glas, pokazuje analiza koja slijedi, počevši od političkih stranaka i izbornog natjecanja.
Otvorite interaktivni graf iznad. Krenite od početnog rasporeda koji proizvodi ciklus, a zatim drugom biraču promijenite samo jedno mjesto u rang-listi i pratite kako se na grafu pojavljuje Condorcetov pobjednik. Pokušajte naći barem dva različita rasporeda koji daju ciklus i barem dva koja daju stabilnog pobjednika. Zatim razmislite računski. S tri birača i tri opcije svaki birač bira jednu od šest mogućih rang-lista, pa postoji \(6^{3} = 216\) kombinacija. Koliko ih proizvodi ciklus? Ciklus nastaje samo kada sva tri birača imaju različite rang-liste koje „rotiraju” u istom smjeru, a takvih je rasporeda dvanaest. Izračunajte udio cikličkih ishoda i objasnite zašto je tako malen udio ipak dovoljan da problem agende učini ozbiljnim u stvarnoj politici, gdje se ne odlučuje o tri, nego o desecima alternativa istodobno.
---
title: "Kolektivni izbor"
---
::: {.vodic-panel}
## Vodič kroz poglavlje
1. Kako od mnoštva pojedinačnih preferencija doći do jedne dosljedne društvene odluke?
2. Što je Condorcetov paradoks i zašto većinsko glasovanje može biti ciklično?
3. Što tvrdi Arrowljev teorem nemogućnosti o agregaciji preferencija?
4. Zašto su jednovršne preferencije i medijanski glasač iznimka koja vraća stabilnost?
5. Zašto je kontrola dnevnog reda izvor moći i kakve to posljedice ima za javne politike?
:::
Dosad smo aktere političkog procesa promatrali kako slijede vlastite preferencije i kako strateški djeluju jedni na druge. Ostaje pitanje što se događa kada te pojedinačne preferencije treba spojiti u jednu zajedničku odluku. Kada odluke donosi pojedinac, ekonomska je analiza relativno jednostavna. Pretpostavljamo da osoba ima preferencije i bira opciju koja joj donosi najveću korist. No javne politike rijetko su rezultat odluke jednog pojedinca. One nastaju kroz **kolektivni izbor**, postupak kojim skupina ljudi s različitim preferencijama dolazi do zajedničke odluke. Pitanje koje se tada postavlja čini se jednostavnim, ali je iznenađujuće složeno. Pitamo se kako od mnoštva pojedinačnih preferencija doći do jedne društvene odluke koja je dosljedna, pravedna i smislena.
U svakodnevnom političkom govoru neprestano koristimo izraze poput „Hrvatska je odlučila", „Europska unija smatra" ili „volja naroda". Teorija javnog izbora poziva nas na intelektualnu iskrenost. Skupine nemaju um, nemaju preferencije i nemaju volju, a preferencije imaju samo pojedinci. Proces pretvaranja heterogenih pojedinačnih rang-lista u jedinstvenu „društvenu rang-listu" nije tehnička formalnost, nego prijelaz pun logičkih paradoksa, proceduralnih zamki i neočekivanih ishoda [@arrow1951; @sen1970; @buchanan1962].
Na privatnom tržištu problem različitih preferencija rješava se elegantno, kroz sustav cijena i paralelnu potrošnju. Ako vi želite kavu, a ja čaj, oboje možemo biti zadovoljeni. U javnoj sferi većina je dobara i politika **nedjeljiva**. Ne možemo istodobno imati progresivan i proporcionalan porezni sustav, niti istim proračunskim novcem graditi autocestu prema Splitu i prema Varaždinu. Zbog toga glasovanje postaje mehanizam prisilne koordinacije, a pravila po kojima se glasovi agregiraju postaju odlučujuća za konačni ishod. Ista skupina ljudi, s istim preferencijama, može doći do različitih odluka ovisno o tome kako glasuje.
Poglavlje tu složenost razotkriva u koracima. Počinje Condorcetovim paradoksom, najjednostavnijim primjerom u kojem većina zapada u krug bez pobjednika, te pokazuje da u više dimenzija taj ciklus prerasta u kaotičnu većinu bez ikakve stabilne točke. Odatle problem poopćava do Arrowljeva teorema nemogućnosti, koji pokazuje da nijedno pravilo agregacije ne može istodobno zadovoljiti nekoliko razumnih zahtjeva, a onda na pozicijskim sustavima poput Bordina pravila pokazuje kako se ta nemogućnost razdjeljuje na konkretne kompromise. Zatim traži izlaz u jednovršnim preferencijama i medijanskom glasaču te otkriva koliko moći leži u kontroli dnevnog reda, čime nadzor nad postupkom često odlučuje više od samih preferencija.
## Condorcetov paradoks
Da problem kolektivnog izbora nije tek teorijska mogućnost, najlakše je pokazati s tri birača i tri opcije, A, B i C [@condorcet1785]. Prvi birač preferira A ispred B ispred C. Drugi preferira B ispred C ispred A. Treći preferira C ispred A ispred B. Svaki pojedinačni birač ima jasne, dosljedne (tranzitivne) preferencije, pa bismo očekivali da i njihov zbroj bude dosljedan.
::: {#def-condorcetov-paradoks}
**Condorcetov paradoks** pokazuje da većinsko parno glasovanje može biti ciklično čak i kada svaki birač ima dosljedne (tranzitivne) preferencije, pa A pobjeđuje B, B pobjeđuje C, ali C pobjeđuje A i kolektiv ostaje bez nedvosmislenog pobjednika [@condorcet1785].
:::
Ako te opcije uspoređujemo u parovima većinskim glasovanjem, dolazimo do neobičnog ishoda. U izboru između A i B pobjeđuje A (dva od tri birača preferiraju A). U izboru između B i C pobjeđuje B. No u izboru između A i C pobjeđuje C. Dobivamo ciklus u kojem A pobjeđuje B, B pobjeđuje C, ali C pobjeđuje A. Kolektivna „preferencija" tako postaje **netranzitivna**, iako su sve pojedinačne preferencije bile dosljedne.
Graf koji slijedi prikazuje ishode parnih glasovanja kao strelice među opcijama A, B i C te javlja zatvara li se ciklus ili postoji stabilan Condorcetov pobjednik. Graf je interaktivan, pa izbornici mijenjaju rang-listu svakog od triju birača, čime se vidi koja kombinacija preferencija stvara ciklus, a koja stabilan ishod.
::: {.content-visible when-format="html"}
```{ojs}
//| echo: false
viewof cond_controls = Inputs.form({
v1: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "A ▸ B ▸ C", label: "Birač 1:"}),
v2: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "B ▸ C ▸ A", label: "Birač 2:"}),
v3: Inputs.select(["A ▸ B ▸ C","A ▸ C ▸ B","B ▸ A ▸ C","B ▸ C ▸ A","C ▸ A ▸ B","C ▸ B ▸ A"], {value: "C ▸ A ▸ B", label: "Birač 3:"})
})
```
```{ojs}
//| echo: false
cond_v1 = cond_controls.v1
```
```{ojs}
//| echo: false
cond_v2 = cond_controls.v2
```
```{ojs}
//| echo: false
cond_v3 = cond_controls.v3
```
```{ojs}
//| echo: false
//| label: fig-condorcet
//| fig-cap: "Strelice pokazuju pobjednika svakog para u izravnom većinskom glasovanju; kada tvore zatvoreni krug, kolektivna preferencija je ciklička i nema stabilnog pobjednika."
//| fig-alt: "Dijagram s tri čvora (A, B, C) raspoređena u trokut. Usmjerene strelice između parova pokazuju pobjednika izravnog glasovanja: kada strelice tvore zatvoreni krug, natpis upozorava na ciklus i nema Condorcetova pobjednika; kada postoji pobjednik s dva pobjede, čvor je označen zelenom bojom."
{
const parse = (s) => s.split(" ▸ ");
const voters = [parse(cond_v1), parse(cond_v2), parse(cond_v3)];
const prefers = (v, x, y) => v.indexOf(x) < v.indexOf(y);
const pair = (x, y) => {
let wx = 0, wy = 0;
for (const v of voters) (prefers(v, x, y) ? wx++ : wy++);
return wx > wy ? x : y;
};
const ab = pair("A","B"), bc = pair("B","C"), ac = pair("A","C");
const wins = {A:0, B:0, C:0};
[ab, bc, ac].forEach(w => wins[w]++);
const condWinner = ["A","B","C"].find(k => wins[k] === 2);
const isCycle = condWinner === undefined;
const pos = {A: {x: 0, y: 1}, B: {x: 0.87, y: -0.5}, C: {x: -0.87, y: -0.5}};
const nodes = ["A","B","C"].map(k => ({id: k, x: pos[k].x, y: pos[k].y}));
const edges = [["A","B",ab],["B","C",bc],["A","C",ac]].map(([a,b,w]) => {
const loser = w === a ? b : a;
return {x1: pos[w].x, y1: pos[w].y, x2: pos[loser].x, y2: pos[loser].y};
});
const accent = isCycle ? "#C53030" : "#1C7C54";
return Plot.plot({
width: 520,
height: 470,
marginTop: 50,
marginBottom: 64,
style: {fontSize: "13px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {axis: null, domain: [-1.45, 1.45]},
y: {axis: null, domain: [-1.2, 1.55]},
marks: [
Plot.arrow(edges, {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2",
stroke: accent, strokeWidth: 2.5, headLength: 13, inset: 28}),
Plot.dot(nodes, {x: "x", y: "y", r: 22, fill: "white", stroke: "#1C1916", strokeWidth: 2}),
Plot.text(nodes, {x: "x", y: "y", text: "id", fontSize: 18, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([isCycle ? "Ciklus — nema stabilnog pobjednika" : `Condorcetov pobjednik: ${condWinner}`],
{frameAnchor: "top", dy: -28, fill: accent, fontSize: 14, fontWeight: 700}),
Plot.text([`A vs B → ${ab} B vs C → ${bc} A vs C → ${ac}`],
{frameAnchor: "bottom", dy: 34, fill: "#3A332D", fontSize: 12})
]
});
}
```
**Što isprobati.** (1) Zadržite početni raspored i provjerite kako tri rang-liste koje rotiraju u istom smjeru zatvaraju strelice u krug, pa natpis javlja ciklus bez stabilnog pobjednika. (2) Biraču 2 promijenite samo jedno mjesto u rang-listi i pratite kako se petlja prekida te se pojavljuje Condorcetov pobjednik označen zelenom bojom. (3) Postavite svim trima biračima istu rang-listu pa potom unesite tek malen otklon i uvjerite se da je za ciklus potrebna upravo ona posebna kombinacija suprotstavljenih redoslijeda, a ne bilo koje neslaganje birača.
:::
::: {.content-visible when-format="pdf"}
```{r}
#| label: fig-condorcet-print
#| echo: false
#| fig-cap: "Strelice pokazuju pobjednika svakog para u izravnom većinskom glasovanju; kada tvore zatvoreni krug, kolektivna preferencija je ciklička i nema stabilnog pobjednika."
#| fig-alt: "Dijagram s tri čvora (A, B, C) raspoređena u trokut. Usmjerene strelice između parova pokazuju pobjednika izravnog glasovanja: kada strelice tvore zatvoreni krug, natpis upozorava na ciklus i nema Condorcetova pobjednika; kada postoji pobjednik s dva pobjede, čvor je označen zelenom bojom."
#| fig-width: 5.2
#| fig-height: 4.7
# Statički PDF blizanac interaktivnog OJS grafa (zadane rang-liste triju birača).
source("R/setup.R")
# Zadane vrijednosti izbornika (rotiraju u istom smjeru -> ciklus):
v1 <- c("A", "B", "C") # Birač 1: A ▸ B ▸ C
v2 <- c("B", "C", "A") # Birač 2: B ▸ C ▸ A
v3 <- c("C", "A", "B") # Birač 3: C ▸ A ▸ B
voters <- list(v1, v2, v3)
# prefers(v, x, y): birač v rangira x iznad y (manji indeks = preferiranije)
prefers <- function(v, x, y) which(v == x) < which(v == y)
# pair(x, y): parni većinski pobjednik (3 birača, bez izjednačenja)
pair <- function(x, y) {
wx <- sum(vapply(voters, prefers, logical(1), x, y))
if (wx > 3 - wx) x else y
}
ab <- pair("A", "B") # A vs B -> A (v1, v3 za A; 2-1)
bc <- pair("B", "C") # B vs C -> B (v1, v2 za B; 2-1)
ac <- pair("A", "C") # A vs C -> C (v2, v3 za C; 2-1)
# Condorcetov pobjednik = opcija s dvije parne pobjede; inače ciklus
wins <- table(factor(c(ab, bc, ac), levels = c("A", "B", "C")))
cond_winner <- names(wins)[wins == 2]
is_cycle <- length(cond_winner) == 0 # zadano: {A:1,B:1,C:1} -> ciklus
# Naglasna boja: crvena za ciklus (#262626), zelena za pobjednika (#5C5C5C)
accent <- if (is_cycle) "#262626" else "#5C5C5C"
# Položaji čvorova: jednakostranični trokut, vrh gore (data koordinate)
pos <- data.frame(
id = c("A", "B", "C"),
x = c(0, 0.87, -0.87),
y = c(1, -0.5, -0.5),
stringsAsFactors = FALSE
)
# Bridovi: strelica ide od parnog pobjednika prema gubitniku
make_edge <- function(a, b, w) {
loser <- if (w == a) b else a
data.frame(
x1 = pos$x[pos$id == w], y1 = pos$y[pos$id == w],
x2 = pos$x[pos$id == loser], y2 = pos$y[pos$id == loser]
)
}
edges <- rbind(
make_edge("A", "B", ab),
make_edge("B", "C", bc),
make_edge("A", "C", ac)
)
# Skraćivanje strelica da ne ulaze u čvorove (analogno OJS insetu 28)
inset_frac <- 0.30
edges <- within(edges, {
dx <- x2 - x1; dy <- y2 - y1
len <- sqrt(dx^2 + dy^2)
xs <- x1 + dx / len * inset_frac
ys <- y1 + dy / len * inset_frac
xe <- x2 - dx / len * inset_frac
ye <- y2 - dy / len * inset_frac
})
top_caption <- if (is_cycle) {
"Ciklus — nema stabilnog pobjednika"
} else {
paste0("Condorcetov pobjednik: ", cond_winner)
}
# PDF grafički uređaj ne crta Unicode strelicu (→, U+2192) pa koristimo ASCII zamjenu
bottom_line <- sprintf("A vs B: %s B vs C: %s A vs C: %s",
ab, bc, ac)
ggplot() +
geom_segment(data = edges, aes(x = xs, y = ys, xend = xe, yend = ye),
color = accent, linewidth = 1.0,
arrow = arrow(length = unit(0.22, "cm"), type = "closed")) +
geom_point(data = pos, aes(x, y), size = 16,
shape = 21, fill = "white", color = "#000000", stroke = 1.1) +
geom_text(data = pos, aes(x, y, label = id),
fontface = "bold", size = 7, color = "#000000") +
annotate("text", x = 0, y = 1.45, label = top_caption,
color = accent, fontface = "bold", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = -1.1, label = bottom_line,
color = "#1A1A1A", size = 3.8) +
scale_x_continuous(limits = c(-1.45, 1.45), expand = c(0, 0)) +
scale_y_continuous(limits = c(-1.2, 1.55), expand = c(0, 0)) +
coord_fixed(clip = "off") +
theme_void() +
theme(plot.background = element_rect(fill = "#F2EDE3", color = NA),
panel.background = element_rect(fill = "#F2EDE3", color = NA),
plot.margin = margin(10, 10, 10, 10))
```
:::
Posljedica je važna. Kada postoji ciklus, ishod ovisi o redoslijedu glasovanja. Onaj tko kontrolira dnevni red, to jest koje se opcije i kojim redoslijedom stavljaju na glasovanje, može utjecati na konačni rezultat. To je prvi nagovještaj da pravila igre nisu nevažna pozadina, nego da oblikuju same ishode.
## Od jednog ciklusa do kaotične većine
Lako je odbaciti taj primjer kao konstrukciju u kojoj su preferencije birača namjerno tako odabrane da proizvedu ciklus. Formalna analiza pokazuje suprotno. McKelveyev teorem o kaotičnoj većini dokazuje da kad se u prostoru odluke pojavi više od jedne dimenzije, ciklusi postaju pravilo, a ne iznimka, i to za gotovo bilo koju raspodjelu preferencija birača [@mckelvey1976]. Ako je ishod prve runde glasovanja pažljivo izabran, agendar može u nekoliko koraka voditi kolektivnu odluku od bilo koje početne točke do bilo koje druge točke u prostoru opcija.
Posljedica je dvostruka. Prvo, intuitivna pretpostavka da se „opće dobro" može jednostavno utvrditi većinom glasova teorijski je neodrživa čim se istodobno odlučuje o više dimenzija. Drugo, stabilnost demokratskih ishoda ne dolazi iz preferencija birača, nego iz proceduralnih ograničenja (pravila glasovanja, jednodimenzionalnih agendi, pravila zaštite nositelja statusa quo) koja sustav izričito uvodi da bi spriječio teoretski kaos.
Upravo zbog tih proceduralnih ograničenja cikluse je u stvarnim tijelima teško izravno opaziti. Parlamenti rijetko glasuju o svim parovima opcija, nego o pomno odabranom redoslijedu amandmana, pa konačni zapisnik pokazuje stabilan ishod čak i kada bi neograničeno parno glasovanje otkrilo cikličku većinu u podlozi. Istraživači zato cikličnost ne mjere izravno, nego je rekonstruiraju iz prostornih modela glasovanja koji iz zabilježenih glasova procjenjuju idealne točke zastupnika u jednoj ili više dimenzija. Što više dimenzija takav model zahtijeva da bi objasnio glasovanje, to je veća vjerojatnost da ispod uređene proceduralne površine leži nestabilna struktura preferencija. Odsutnost vidljivih ciklusa zato nije dokaz da ih nema, nego često znak da ih je procedura unaprijed prikrila.
Da nije riječ samo o teorijskoj mogućnosti pokazuju i izravniji dokazi. Riker je u stvarnim zakonodavnim povijestima prepoznao niz slučajeva u kojima je redoslijed glasovanja, a ne stabilna većinska volja, odlučio ishod, a kontrolirani pokusi s odlučivanjem u odborima potvrđuju da ciklusi nastaju to češće što je više sudionika i što je prostor odluke višedimenzionalniji [@riker1982]. Cikličnost stoga nije rijetka anomalija, nego latentno svojstvo većinskog odlučivanja koje uređene procedure većinom drže izvan vidokruga.
::: {.callout-empirija}
Koliko stvarnih dimenzija ima zakonodavno odlučivanje moguće je i izmjeriti. Poole i Rosenthal rekonstruirali su idealne točke svih članova američkog Kongresa kroz više od dva stoljeća poimeničnih glasovanja postupkom prostornog skaliranja (NOMINATE) i pokazali da jedna jedina dimenzija objašnjava oko 80 % zabilježenih glasova, a druga dimenzija gotovo sav preostali sustavni dio [@poole2007]. Niska dimenzionalnost nije dokaz da temeljne preferencije nisu višedimenzionalne, nego pokazuje koliko snažno stranačka disciplina i proceduralna pravila stišću prostor odlučivanja na jednu lijevo-desnu os. Kada ta stega oslabi, dimenzionalnost mjereno raste, a s njom i učestalost obrnutih i nestabilnih ishoda, što je empirijski trag McKelveyeva teorijskog rezultata u stvarnom parlamentu.
:::
Čim se otvori druga dimenzija ili oslabi stranačka stega, latentni ciklus ponovno ispliva na površinu, pa presudnu ulogu preuzima onaj tko kontrolira redoslijed odlučivanja. Sastavljanje dnevnog reda zato nije tehnički detalj postupka, nego mjesto na kojem se neodređenost većinske volje pretvara u konkretan ishod.
::: {.callout-praksa}
Ciklus nije samo udžbenički kuriozitet. Zamislimo raspravu o energetskoj politici s tri skupine i tri opcije (nuklearna energija, plin, obnovljivi izvori). Industrija rangira nuklearnu ispred plina, a plin ispred obnovljivih, ekolozi i turizam obnovljive ispred nuklearne, a nuklearnu ispred plina, dok politički centar rangira plin ispred obnovljivih, a obnovljive ispred nuklearne. U parnom glasovanju nastaje ciklus bez stabilnog pobjednika, pa ishod uvelike ovisi o tome tko određuje redoslijed glasovanja (tzv. *agenda-setter*, primjerice predsjednik odbora, Vlada ili predsjedavajući Vijeća EU). U Hrvatskom saboru ta moć često leži u rukama Vlade pri pripremi proračuna, a slične dinamike vide se u usklađivanju paketa „Fit for 55" između energetskih interesa država članica EU.[^wp-ch06a]
:::
[^wp-ch06a]: Daljnje čitanje: McKelvey (1976), [*Intransitivities in Multidimensional Voting Models and Some Implications for Agenda Control*](https://doi.org/10.1016/0022-0531(76)90040-5).
Različiti sustavi glasovanja vode do različitih ishoda, što dodatno naglašava da nijedan mehanizam nije neutralan [@gibbard1973; @satterthwaite1975]. @tbl-sustavi-glasovanja sažima ključne prednosti i nedostatke najvažnijih sustava.
| Sustav glasovanja | Jednostavnost | Otpornost na strateško glasovanje | Poštivanje Condorcetova pobjednika | Primjena u praksi | Glavni nedostatak |
|---|---|---|---|---|---|
| Prosta većina | visoka | niska | nisko | 1. krug predsjedničkih izbora (RH) | rasipanje glasova, „manje zlo" |
| Dvokružni većinski | srednja | srednja | srednje | predsjednički izbori (RH) | visoki troškovi kampanje |
| Proporcionalni (d'Hondt) | srednja | srednja | nisko | izbori za Sabor i Europski parlament | fragmentacija, intenzivan *logrolling* |
| Rangirano glasovanje (RCV) | niska | visoka | srednje | rijetko u EU | složeno brojanje |
: Usporedba sustava glasovanja. Izrada autora. {#tbl-sustavi-glasovanja}
Iz tih razlika među sustavima slijedi jedan dublji rezultat. Gibbard i Satterthwaite dokazali su da je svaki razuman izborni sustav s barem tri opcije podložan strateškom glasovanju, odnosno da u nekim situacijama biraču nije u interesu glasati za svoju iskreno najdražu opciju, nego taktički za onu koja ima veće izglede [@gibbard1973; @satterthwaite1975]. Formalno, pravilo koje nijednom biraču nikad ne dopušta da lažnim rangiranjem dobije ishod koji više voli, a bira između barem tri opcije, mora biti diktatorsko u smislu da ishod ovisi o jednom te istom biraču bez obzira na ostale. Manipulabilnost zato nije mana lošeg dizajna koju bi se boljim pravilom moglo ukloniti, nego ugrađeno svojstvo svake agregacije preferencija.
Koliko će se ta ugrađena manipulabilnost stvarno iskoristiti ograničava dostupna informacija. Uspješno taktiziranje, poput pokapanja najjačeg suparnika spuštanjem na dno liste pod Bordinim pravilom, traži gotovo potpuno poznavanje tuđih listića, što je u velikom biračkom tijelu rijetko dostupno, pa se većina birača i pod manipulabilnim pravilima u praksi drži iskrenog poretka [@mueller1989]. Posljedica je da zabilježeni glasovi ne otkrivaju nužno stvarne preferencije birača, što dodatno otežava tumačenje izbornih i parlamentarnih ishoda kao izravnog izraza „volje naroda".
## Arrowljev teorem nemogućnosti
Dok Condorcetov paradoks pokazuje da većinsko glasovanje *može* proizvesti cikličke i nestabilne ishode, Kenneth Arrow postavio je pitanje na fundamentalnoj razini. Pitao se postoji li uopće *ikakav* sustav agregacije koji bi pouzdano i razumno pretvarao pojedinačne preferencije u društvenu odluku. Njegov odgovor, **Arrowljev teorem nemogućnosti** [@arrow1951], jedan je od najsnažnijih i najpesimističnijih rezultata u ekonomskoj znanosti 20. stoljeća.
::: {#def-arrowljev-teorem}
**Arrowljev teorem nemogućnosti** dokazuje da ne postoji sustav agregacije individualnih preferencija koji istodobno zadovoljava neograničenu domenu, kolektivnu racionalnost, Pareto-efikasnost, neovisnost o nevažnim alternativama i nediktatorstvo kada postoje barem tri alternative [@arrow1951].
:::
Arrow je tražio pravilo koje istodobno zadovoljava nekoliko razumnih i naizgled minimalnih uvjeta. Neograničena domena traži da pravilo radi za sve moguće kombinacije pojedinačnih preferencija. Kolektivna racionalnost traži da društveni poredak bude dosljedan, odnosno potpun i tranzitivan. Pareto-efikasnost traži da, ako svi preferiraju A ispred B, i društvo preferira A ispred B. Neovisnost o nevažnim alternativama zahtijeva da se rangiranje između A i B ne mijenja uvođenjem ili uklanjanjem treće alternative C. Konačno, nediktatorstvo isključuje mogućnost da jedan pojedinac nametne svoju volju cijeloj skupini bez obzira na preferencije ostalih.
Arrowljev je dokaz pokazao da nijedno pravilo ne može zadovoljiti svih pet uvjeta istodobno čim postoje barem tri alternative. Ne postoji savršen demokratski mehanizam agregacije preferencija, pa svaki realan sustav glasovanja mora žrtvovati barem jedno od poželjnih svojstava. To ne znači da je demokracija besmislena, nego da svako pravilo odlučivanja ima ugrađena ograničenja i moguće nedosljednosti, te da izbor pravila uvijek uključuje kompromise.
Intuicija dokaza objašnjava zašto nemogućnost nije puka nezgoda s jednim nezgodnim uvjetom. Iz neograničene domene, Pareto-uvjeta i neovisnosti o nevažnim alternativama slijedi da nad barem jednim parom alternativa postoji odlučujuća skupina, takva da njezino slaganje određuje društveni izbor bez obzira na ostale. Isti uvjeti potom tu odlučnost šire s jednog para na sve parove i istodobno je stežu sa skupine na sve manji krug, sve dok se ne svede na jednog jedinog pojedinca. Taj je pojedinac upravo diktator kojeg peti uvjet zabranjuje, pa pet naizgled minimalnih zahtjeva ne može stajati zajedno. Nemogućnost je zato strukturna posljedica istodobnog inzistiranja na dosljednosti, parnoj neovisnosti i poštivanju jednoglasja [@arrow1963; @sen1970].
@tbl-arrow-uvjeti pokazuje što svaki uvjet zahtijeva i što se događa kada se prekrši.
| Uvjet | Što zahtijeva | Posljedica kršenja u stvarnom svijetu |
|---|---|---|
| Neograničena domena | radi za sve moguće preferencije | blokade u duboko polariziranim društvima |
| Kolektivna racionalnost | društveni poredak je dosljedan | cikličke većine i nestabilni ishodi |
| Pareto-efikasnost | poštuje jednoglasne preferencije | loši kompromisi koje nitko zapravo ne želi |
| Neovisnost o nevažnim alternativama | rang A i B ne ovisi o C | „spoiler" efekt trećih opcija |
| Nediktatorstvo | nema diktatora | potpuna dosljednost zahtijeva koncentraciju moći |
: Arrowljevi uvjeti i njihove implikacije. Izrada autora prema @arrow1951, @mueller1989 i @sen1970. {#tbl-arrow-uvjeti}
::: {.callout-praksa}
Posljedice teorema vide se u izbornim procesima. Pojava treće ili četvrte relevantne opcije (primjerice Mosta ili Možemo!) može osjetno promijeniti odnos snaga između dvije velike stranke, iako birači nisu bitno promijenili mišljenje o tim dvjema strankama, što je upravo kršenje uvjeta neovisnosti o nevažnim alternativama. Na razini EU slična se dinamika vidi pri glasovanju kvalificiranom većinom u Vijeću, gdje stavovi pojedinih zemalja mogu blokirati ili izmijeniti pakete poput fiskalnih pravila ili „Fit for 55".[^wp-ch06b]
:::
[^wp-ch06b]: Daljnje čitanje: McCune i Wilson (2023), [*Ranked-choice voting and the spoiler effect*](https://doi.org/10.1007/s11127-023-01050-3) (Public Choice).
## Bordino pravilo i pozicijsko glasovanje
Arrowljev teorem pokazuje da nijedno pravilo ne može zadovoljiti sve uvjete odjednom, no pravila se razlikuju po tome koji uvjet žrtvuju i kako. Ciklusi većine, primjerice, nastaju jer parno glasovanje odbacuje obavijest o tome koliko su opcije međusobno udaljene na svakom listiću, dok pozicijski sustavi idu suprotnim putem i čitaju cijelu rang-listu, a ne samo prvi izbor. Pluralno glasovanje, najraširenije pravilo, leži na kraju tog raspona jer broji isključivo prvo mjesto, a sve o rasporedu ostalih kandidata zanemaruje. Kandidat kojeg vatrena manjina obožava, a tiha ga većina drži najgorom opcijom, pod pluralnim pravilom može pobijediti upravo zato što rang-lista te većine nikad ne uđe u zbroj.
Borda je 1781. godine predložio da se svakom kandidatu dodijeli broj bodova prema njegovu mjestu na biračevoj rang-listi, čime u zbroj ulazi cijeli poredak, a ne samo vrh [@borda1781]. Zamisao nije bila posve nova jer je sličan postupak za izbor careva opisao Nikola Kuzanski još u prvoj polovici 15. stoljeća, no tek je Bordin memorandum Francuskoj akademiji znanosti pokrenuo formalnu raspravu o svojstvima takvih pravila [@mcleanurken1995].
::: {#def-bordino-pravilo}
**Bordino pravilo** (*Borda count*) svakom kandidatu dodjeljuje bodove prema mjestu na svakoj rang-listi, pri čemu uz $m$ kandidata prvo mjesto nosi $m-1$ bodova, drugo $m-2$, i tako redom do nule, a pobjeđuje kandidat s najvećim ukupnim zbrojem.
:::
Bordino je pravilo poseban slučaj šire obitelji pozicijskih sustava. Pozicijski sustav određen je vektorom težina $w = (w_1, w_2, \dots, w_m)$ koji $k$-tom mjestu na listiću pridružuje $w_k$ bodova, uz $w_1 \ge w_2 \ge \dots \ge w_m$ i $w_1 > w_m$. Pojedini sustavi tek su različiti izbori tog vektora. Pluralno glasovanje koristi $w = (1, 0, \dots, 0)$ jer broji samo prvo mjesto, antipluralno glasovanje koristi $w = (1, \dots, 1, 0)$ jer kažnjava samo posljednje, a Bordin sustav uzima ravnomjeran pad
$$w = (m-1,\ m-2,\ \dots,\ 1,\ 0),$$
u kojem je bodovna razlika između svaka dva susjedna mjesta jednaka. Upravo taj ravnomjeran pad daje Bordi svojstva po kojima se izdvaja.
Da pozicijski i parni pristup pri istim preferencijama mogu proglasiti različite pobjednike, pokazuje primjer triju kandidata $A$, $B$ i $C$ pred devetnaest glasača. Deset ih rangira $A \succ B \succ C$, a preostalih devet $B \succ C \succ A$. U parnim dvobojima $A$ pobjeđuje $B$ s deset glasova prema devet i jednako tako svladava $C$, dok $B$ uvjerljivo nadjačava $C$. Kandidat $A$ time je Condorcetov pobjednik jer nadvladava svakog suparnika ponaosob. Zbrajanje bodova uz Bordine težine $2$, $1$ i $0$ daje drugačiju sliku.
$$B(A) = 10 \cdot 2 + 9 \cdot 0 = 20, \quad B(B) = 10 \cdot 1 + 9 \cdot 2 = 28, \quad B(C) = 10 \cdot 0 + 9 \cdot 1 = 9.$$
Bordin pobjednik je $B$ s dvadeset i osam bodova, dok Condorcetov pobjednik $A$ pada na drugo mjesto. Razlog leži u strukturi preferencija. Devetorica koja vode $B$ stavljaju $A$ na samo dno, pa je $A$ za gotovo polovicu biračkog tijela najgora opcija premda tijesno pobjeđuje u svakom paru. Kandidat $B$ nikomu nije najgori i svima je barem drugi, što ga čini snažnijim kompromisom. Parno glasovanje tu razliku ne vidi jer svaki par mjeri odvojeno od trećeg kandidata, dok je Bordin zbroj očuva.
Odnos dvaju pravila lakše je vidjeti nego pratiti kroz brojeve. Graf koji slijedi prikazuje Bordin zbroj svakog kandidata kao stupce i istodobno javlja tko je Condorcetov pobjednik, pa se odmah razabire slažu li se dva pravila ili se razilaze. Graf je interaktivan, pa klizači mijenjaju koliko birača drži svaki od šest mogućih poredaka triju kandidata.
::: {.content-visible when-format="html"}
```{ojs}
//| echo: false
viewof borda_controls = Inputs.form({
abc: Inputs.range([0, 20], {value: 10, step: 1, label: "A ▸ B ▸ C:"}),
acb: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "A ▸ C ▸ B:"}),
bca: Inputs.range([0, 20], {value: 9, step: 1, label: "B ▸ C ▸ A:"}),
bac: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "B ▸ A ▸ C:"}),
cab: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "C ▸ A ▸ B:"}),
cba: Inputs.range([0, 20], {value: 0, step: 1, label: "C ▸ B ▸ A:"})
})
```
```{ojs}
//| echo: false
//| label: fig-borda
//| fig-cap: "Bordin zbroj triju kandidata i Condorcetov pobjednik za zadani profil preferencija. Pri početnom rasporedu Bordin pobjednik B nije ujedno i Condorcetov pobjednik A."
//| fig-alt: "Stupčasti grafikon s tri stupca za kandidate A, B i C koji prikazuju njihov Bordin zbroj. Najviši stupac, koji označava Bordina pobjednika, istaknut je zelenom bojom. Iznad grafa ispisani su Bordin pobjednik, Condorcetov pobjednik te poruka slažu li se dva pravila."
{
const w = borda_controls;
const groups = [
{rank: ["A","B","C"], n: w.abc},
{rank: ["A","C","B"], n: w.acb},
{rank: ["B","C","A"], n: w.bca},
{rank: ["B","A","C"], n: w.bac},
{rank: ["C","A","B"], n: w.cab},
{rank: ["C","B","A"], n: w.cba}
];
const cands = ["A","B","C"];
// Bordin zbroj: prvo mjesto 2, drugo 1, treće 0
const borda = {A: 0, B: 0, C: 0};
for (const g of groups) {
borda[g.rank[0]] += 2 * g.n;
borda[g.rank[1]] += 1 * g.n;
borda[g.rank[2]] += 0 * g.n;
}
// Parne usporedbe i Condorcetov pobjednik
const prefers = (rank, x, y) => rank.indexOf(x) < rank.indexOf(y);
const pairCount = (x, y) => d3.sum(groups, g => prefers(g.rank, x, y) ? g.n : 0);
const beats = (x, y) => {
const xy = pairCount(x, y), yx = pairCount(y, x);
return xy > yx ? x : (yx > xy ? y : null);
};
const condWinner = cands.find(c => cands.filter(o => o !== c).every(o => beats(c, o) === c));
const maxB = d3.max(cands, c => borda[c]);
const bordaWinners = cands.filter(c => borda[c] === maxB && maxB > 0);
const bordaWinner = bordaWinners.length === 1 ? bordaWinners[0] : null;
const agree = bordaWinner && condWinner && bordaWinner === condWinner;
const accent = agree ? "#1C7C54" : "#6B1F26";
const data = cands.map(c => ({cand: c, score: borda[c], isWin: c === bordaWinner}));
const condText = condWinner ? `Condorcetov pobjednik: ${condWinner}` : "Condorcetov pobjednik: nema (ciklus)";
const bordaText = bordaWinner ? `Bordin pobjednik: ${bordaWinner} (${borda[bordaWinner]} bod.)` : "Bordin pobjednik: neodlučeno";
const verdict = (bordaWinner && condWinner) ? (agree ? "Pravila se slažu" : "Pravila se razilaze") : "";
return Plot.plot({
width: 520,
height: 410,
marginLeft: 55,
marginTop: 66,
marginBottom: 45,
style: {fontSize: "13px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {label: "Kandidat", domain: cands},
y: {label: "↑ Bordin zbroj", domain: [0, Math.max(10, maxB * 1.18)], grid: true},
marks: [
Plot.ruleY([0], {stroke: "#C9C3B8"}),
Plot.barY(data, {x: "cand", y: "score", fill: d => d.isWin ? "#4A6B5C" : "#C9BBA3"}),
Plot.text(data, {x: "cand", y: "score", text: d => d.score, dy: -8,
fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([bordaText], {frameAnchor: "top", dy: -48, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: "#4A6B5C"}),
Plot.text([condText], {frameAnchor: "top", dy: -30, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([verdict], {frameAnchor: "top", dy: -10, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: accent})
]
});
}
```
**Što isprobati.** (1) Zadržite početni raspored u kojem deset birača drži A ▸ B ▸ C, a devet B ▸ C ▸ A, i potvrdite da Bordin pobjednik B nije ujedno Condorcetov pobjednik A. (2) Postupno povećavajte broj birača koji drže A ▸ B ▸ C i pratite kako Bordin zbroj kandidata A sustiže pa prestiže B, sve dok se dva pravila ne počnu slagati. (3) Rasporedite glasove u tri jednake skupine koje rotiraju u istom smjeru, A ▸ B ▸ C, B ▸ C ▸ A i C ▸ A ▸ B, i vidjet ćete kako parno glasovanje upada u ciklus bez Condorcetova pobjednika, dok Bordin zbroj i dalje uredno proglašava pobjednika.
:::
::: {.content-visible when-format="pdf"}
```{r}
#| label: fig-borda-print
#| echo: false
#| fig-cap: "Bordin zbroj triju kandidata i Condorcetov pobjednik za zadani profil preferencija. Pri početnom rasporedu Bordin pobjednik B nije ujedno i Condorcetov pobjednik A."
#| fig-alt: "Stupčasti grafikon s tri stupca za kandidate A, B i C koji prikazuju njihov Bordin zbroj. Najviši stupac, koji označava Bordina pobjednika, istaknut je zelenom bojom. Iznad grafa ispisani su Bordin pobjednik, Condorcetov pobjednik te poruka slažu li se dva pravila."
#| fig-width: 5.2
#| fig-height: 4.1
# Statički PDF blizanac interaktivnog OJS grafa (zadane vrijednosti klizača,
# reproduciraju primjer iz teksta: 10 × A▸B▸C, 9 × B▸C▸A).
source("R/setup.R")
groups <- list(
list(rank = c("A","B","C"), n = 10),
list(rank = c("A","C","B"), n = 0),
list(rank = c("B","C","A"), n = 9),
list(rank = c("B","A","C"), n = 0),
list(rank = c("C","A","B"), n = 0),
list(rank = c("C","B","A"), n = 0)
)
cands <- c("A", "B", "C")
# Bordin zbroj: prvo mjesto 2, drugo 1, treće 0
borda <- c(A = 0, B = 0, C = 0)
for (g in groups) {
borda[g$rank[1]] <- borda[g$rank[1]] + 2 * g$n
borda[g$rank[2]] <- borda[g$rank[2]] + 1 * g$n
borda[g$rank[3]] <- borda[g$rank[3]] + 0 * g$n
}
# Parne usporedbe i Condorcetov pobjednik
pair_count <- function(x, y) {
sum(vapply(groups, function(g)
if (which(g$rank == x) < which(g$rank == y)) g$n else 0, numeric(1)))
}
beats <- function(x, y) {
xy <- pair_count(x, y); yx <- pair_count(y, x)
if (xy > yx) x else if (yx > xy) y else NA_character_
}
cond_winner <- cands[vapply(cands, function(c)
all(vapply(setdiff(cands, c), function(o) identical(beats(c, o), c), logical(1))),
logical(1))]
cond_winner <- if (length(cond_winner) == 1) cond_winner else NA_character_
borda_winner <- names(borda)[which.max(borda)]
agree <- !is.na(cond_winner) && cond_winner == borda_winner
accent <- if (agree) "#5C5C5C" else "#4D4D4D"
df <- data.frame(cand = cands, score = as.numeric(borda[cands]),
is_win = cands == borda_winner)
cond_text <- if (is.na(cond_winner)) "Condorcetov pobjednik: nema (ciklus)" else paste0("Condorcetov pobjednik: ", cond_winner)
borda_text <- paste0("Bordin pobjednik: ", borda_winner, " (", borda[[borda_winner]], " bod.)")
verdict <- if (!is.na(cond_winner)) (if (agree) "Pravila se slažu" else "Pravila se razilaze") else ""
ytop <- max(df$score) * 1.4
ggplot(df, aes(cand, score, fill = is_win)) +
geom_col(width = 0.6) +
geom_text(aes(label = score), vjust = -0.5, fontface = "bold",
size = 4.2, color = "#000000") +
scale_fill_manual(values = c(`TRUE` = "#7A7A7A", `FALSE` = "#C4C4C4"), guide = "none") +
annotate("text", x = 0.55, y = ytop * 0.97, label = borda_text,
hjust = 0, fontface = "bold", size = 3.8, color = "#7A7A7A") +
annotate("text", x = 0.55, y = ytop * 0.90, label = cond_text,
hjust = 0, fontface = "bold", size = 3.8, color = "#000000") +
annotate("text", x = 0.55, y = ytop * 0.83, label = verdict,
hjust = 0, fontface = "bold", size = 4.2, color = accent) +
scale_y_continuous(limits = c(0, ytop), expand = c(0, 0)) +
labs(x = "Kandidat", y = "Bordin zbroj") +
theme_pubfin()
```
:::
Da taj ravnomjeran raspored bodova nije proizvoljan, dokazao je Young [@young1974]. Pokazao je da je Bordino pravilo jedini pozicijski sustav koji istodobno zadovoljava neutralnost, vjernost prema kojoj pri jednom biraču društveni poredak mora biti njegova rang-lista, poništavanje suprotstavljenih parova i konzistentnost prema kojoj dvije skupine koje odvojeno rangiraju $A$ iznad $B$ moraju i zajedno rangirati $A$ iznad $B$. Svako odstupanje od linearnih težina ruši konzistentnost, što sustavi s eliminacijskim krugovima redovito i čine.
Dublje objašnjenje zašto se sustavi uopće razilaze dao je Saari geometrijskom analizom prostora svih mogućih rang-lista [@saari1995]. Pri tri kandidata taj je prostor šesterodimenzionalan jer postoji šest poredaka, a Saari ga rastavlja na međusobno okomite dijelove od kojih svaki nosi jednu vrstu biračkog ponašanja. Na osnovnom dijelu, gdje su preferencije međusobno suglasne, svi se sustavi slažu i paradoksa nema.
Razlike izviru iz dvaju preostalih dijelova. Jedan sadrži cikličke komponente poput Condorcetove trojke, i upravo taj dio Bordin zbroj posve poništava, dok parne metode čini nestabilnima. Drugi se tiče obrtanja preferencija, gdje je Bordino pravilo jedini pozicijski sustav kod kojeg potpuno obrnut poredak svih birača daje i potpuno obrnut društveni poredak, dok ga pluralno glasovanje grubo krši. Iz te dekompozicije slijedi da Bordino pravilo proizvodi najmanje paradoksa među pozicijskim sustavima, što ga čini informacijski najstabilnijim.
::: {.callout-praksa}
Bordino pravilo nije ostalo na papiru. Pacifička država Nauru bira svoj parlament Dowdallovom inačicom u kojoj bodovi opadaju harmonijski, kao 1, 1/2, 1/3 i dalje, čime se još jače nagrađuje širok konsenzus. Slovenija Bordinim pravilom bira zastupnike talijanske i mađarske manjine u Državni zbor, gdje je cilj izabrati predstavnika kojeg cijela malobrojna zajednica prihvaća, a ne onoga koji tek skupi najviše prvih glasova. Izvan politike isti se postupak koristi za izbor najboljih sportaša i u glasovanju za Pjesmu Eurovizije, gdje se zbrajaju poredci mnogih ocjenjivača.[^wp-ch06d]
:::
[^wp-ch06d]: Daljnje čitanje: Reilly (2002), [*Social Choice in the South Seas*](https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0192512102023004002) (International Political Science Review); Fraenkel i Grofman (2014), [*The Borda Count and its Real-World Alternatives*](https://doi.org/10.1080/10361146.2014.900530) (Australian Journal of Political Science).
Cijena te stabilnosti je osjetljivost na taktičko rangiranje, koju obuhvaća opći Gibbard-Satterthwaiteov rezultat o manipulabilnosti. Hibridna pravila pokušavaju spojiti obje vrline tako da Bordin zbroj koriste za postupno ispadanje kandidata, pa Nansonov i Baldwinov sustav uvijek izaberu Condorcetova pobjednika kada on postoji, ali zauzvrat gube monotonost [@nanson1882; @baldwin1926]. Nijedan izbor pravila time ne izmiče kompromisu između suparničkih vrijednosti koji je Arrowljev teorem već uzdigao s razine pojedinačnih sustava na razinu načela.
## Jednovršne preferencije i medijanski glasač
Cikluse i nedosljednosti ne moramo uvijek očekivati. Ciklusi iz prethodnih primjera nastaju jer preferencije birača nemaju zajedničku strukturu, no čim ta struktura postoji, kolektivni izbor može biti stabilan. Ključan je slučaj onaj u kojem se sve opcije mogu poredati na jednoj dimenziji, primjerice na osi „manje – više javne potrošnje", a svaki birač ima na njoj jednu najdražu točku. Takve preferencije nazivamo **jednovršnima** (*single-peaked preferences*).
::: {#def-jednovrsne-preferencije}
**Jednovršne preferencije** (*single-peaked preferences*) su preferencije pri kojima svaki birač ima jednu najdražu točku na nekoj dimenziji politike, a privlačnost svake opcije monotono pada s udaljenošću od te točke; ta struktura jamči stabilnost ishoda većinskog glasovanja.
:::
Kada su preferencije jednovršne i odlučuje se o jednoj dimenziji, većinsko glasovanje proizvodi stabilan ishod, i to uvijek isti. Pobjeđuje opcija koja je najbliža sredini rasporeda biračkih preferencija, a birača koji se ondje nalazi nazivamo **medijanskim glasačem**. To je sadržaj teorema o medijanskom glasaču [@black1948], koji ćemo detaljnije primijeniti u poglavlju o strankama i izborima.
::: {#def-medijanski-glasac}
**Medijanski glasač** je birač čija idealna točka leži u sredini rasporeda svih birača; prema teoremu o medijanskom glasaču [@black1948], kada su preferencije jednovršne i odluka je jednodimenzionalna, pobjeđuje opcija kojoj je taj birač najbliži.
:::
Medijanski glasač važan je jer pokazuje da kolektivni izbor nije nužno kaotičan. No njegovi su uvjeti zahtjevni jer stvarne političke odluke rijetko su jednodimenzionalne. Kada se istodobno odlučuje o više dimenzija (porezi, zdravstvo, vanjska politika, okoliš), jednovršnost se gubi, ciklusi se vraćaju, a moć dnevnoga reda ponovno raste [@mckelvey1976].
Pitanje kada jednovršnost vrijedi u stvarnoj politici ima konkretan odgovor. Ona vrijedi otprilike u onoj mjeri u kojoj se javna rasprava može svesti na jednu lijevo-desnu os, a izrazito slabi kada birač istodobno mora rangirati paket politika koje uključuju različite vrijednosne dimenzije. Klasičan primjer je porezno-socijalna politika u kojoj se pitanje veličine države miješa s pitanjima poreznih olakšica, fiskalnog pravila i namjene rashoda. Birač koji preferira niže opće stope može istodobno preferirati visoke ciljane transfere, što ga čini jednovršnim u jednoj dimenziji i dvovršnim u drugoj.
Šira lekcija dolazi iz Senove kritike, koja pokazuje da se jednovršnost gubi gotovo pravilom čim politička podjela uvodi pitanja identiteta, povjerenja u institucije ili kulturne pripadnosti [@sen1970]. Te dimenzije nisu „šumovi" u inače čistoj ekonomskoj raspravi, nego strukturni dio modernog političkog izbora, što objašnjava zašto je u zadnja dva desetljeća stabilnost ishoda većinskog glasovanja u demokracijama zapadnog svijeta opala istodobno s rastom dimenzionalnosti njihovih političkih sustava.
## Kontrola dnevnog reda i politika kompromisa
Čak i kada su kolektivne preferencije cikličke, odluke se u praksi moraju donijeti, proračun se usvaja, zakoni donose, politike provode. Ključno pitanje postaje tko i kako prekida cikluse te usmjerava konačni ishod. Odgovor leži u **moći kontrole dnevnog reda** (*agenda-setting power*), to jest u sposobnosti da se odredi o čemu će se glasovati, kojim redoslijedom i u kojem obliku [@mckelvey1976; @romer1978].
::: {#def-moc-dnevnog-reda}
**Moć kontrole dnevnog reda** (*agenda-setting power*) je sposobnost određivanja o čemu će se glasovati, kojim redoslijedom i u kojem obliku, čime agendar može usmjeriti konačni ishod čak i u uvjetima cikličnih preferencija [@mckelvey1976; @romer1978].
:::
Osoba ili tijelo koje oblikuje proceduru, primjerice predsjednik saborskog odbora, Vlada ili predsjedavajući Vijeća EU, često ima veću stvarnu moć od same većine glasova. Pažljivim biranjem redoslijeda glasovanja moguće je usmjeriti ishod prema željenoj alternativi i unutar istog skupa preferencija.
Manipulacija ne staje na redoslijedu glasovanja. William Riker tu širu vještinu naziva **herestetikom** (*heresthetics*), umijećem strukturiranja političkog prostora kojim se postojeća većina razbija uvođenjem nove dimenzije odlučivanja [@riker1986]. Onaj tko gubi pod trenutnom podjelom ne pokušava uvjeriti protivnike da promijene mišljenje, nego u raspravu ubacuje novo pitanje i, primjerice, ekonomski prijedlog poveže s nacionalnim identitetom ili sigurnošću, čime dotadašnju koaliciju cijepa na frakcije i otvara prostor za novu pobjedničku većinu. Herestetika je drugo lice McKelveyeva rezultata jer pokazuje da strateški akter višedimenzionalnost prostora ne mora čekati, nego je može i sam stvoriti.
Snaga te moći nije svuda jednaka. Komparativni dizajn parlamentarnih procedura pokazuje da se agendar kreće na spektru čija se dva ekstrema mogu prikazati istim modelom. Na jednom kraju nalazi se zatvoreno pravilo, u kojem agendar predlaže jednu jedinu alternativu, a parlament o njoj može glasovati samo „za" ili „protiv". Tu je moć agendara teorijski najveća, a jasno se vidi u proceduri donošenja proračuna u nekim francuskim i britanskim aranžmanima [@romer1978]. Na drugom kraju nalazi se otvoreno pravilo, u kojem svaki zastupnik može predlagati izmjene, raspravljati o njima i predlagati alternative, što ishod približava medijanu zastupnika i smanjuje moć inicijative.
Većina stvarnih demokracija leži između tih krajeva i kombinira različite vrste pravila za različite tipove zakona. Pravila pojačane većine za ustavne i fiskalne zakone tom mješavinom dodatno mijenjaju ravnotežu jer čak ni agendar s povlaštenim pristupom ne može iznad pojedinih pragova nadvladati podijeljeni parlament. Pitanje koliko će u jednoj demokraciji moći imati onaj tko kontrolira dnevni red zato nije pitanje pojedinaca, nego pitanje institucionalnog dizajna.
Kada se ciklusi moraju prekinuti, dolazi do kompromisa, ali kompromisi u politici rijetko predstavljaju optimalno srednje rješenje. Često nastaju kroz **trgovanje glasovima** (*logrolling*), pri čemu zastupnici uzajamno podržavaju projekte kako bi osigurali podršku za vlastite. Rezultat nije prosjek, nego zbroj interesa, više projekata i veća javna potrošnja nego što bi većina birača samostalno odobrila [@buchanan1962]. Formalni model takvog pregovaranja, u kojem predlagatelj proračuna minimalnu pobjedničku koaliciju gradi kupnjom najjeftinijih glasova, razvili smo u poglavlju o teoriji igara.
Slika ipak nije jednoznačno negativna. Obično većinsko glasovanje broji glave, ali ne mjeri koliko je kome do čega stalo, pa može odbiti mjeru koja malobrojnoj, ali snažno zainteresiranoj skupini znači mnogo, a ravnodušnoj većini šteti tek neznatno. Trgovanje glasovima upravo tu prazninu popunjava jer dopušta da se glas o pitanju koje nam je sporedno zamijeni za podršku o pitanju koje nam je važno, čime mogu proći obostrano korisni dogovori koje bi anonimno glasovanje odbacilo [@buchanan1962]. Isti mehanizam postaje štetan kada koalicija koja trguje prebaci trošak na one koji u trgovini ne sudjeluju, pa neto učinak na blagostanje nije unaprijed zadan, nego ovisi o tome jesu li koristi koncentrirane na sudionike ili su troškovi rašireni na vanjske strane. Zato Buchanan i Tullock logrolling i ne promatraju kao puku patologiju, nego kao razlog zašto je dizajn ustavnih pravila važniji od pojedinačnog ishoda.
Tu se mehaniku najlakše vidi na slici dobitaka i gubitaka dvaju zastupnika. Graf koji slijedi prikazuje dva projekta. Projekt A koristi prvom zastupniku a šteti drugom, projekt B obrnuto, pa nijedan sam ne bi prošao. Tek njihov spoj, A plus B, oba zastupnika smješta u područje u kojem obojica dobivaju, čime paket dobiva većinu. Graf je interaktivan, pa klizači mijenjaju dobitak od vlastitog projekta i gubitak od tuđega.
::: {.content-visible when-format="html"}
```{ojs}
//| echo: false
viewof lr_controls = Inputs.form({
g: Inputs.range([1, 9], {value: 6, step: 0.5, label: "Dobitak od vlastitog projekta g:"}),
l: Inputs.range([1, 9], {value: 4, step: 0.5, label: "Gubitak od tuđeg projekta l:"})
})
```
```{ojs}
//| echo: false
//| label: fig-logrolling
//| fig-cap: "Trgovanje glasovima na ravnini dobitaka dvaju zastupnika. Projekti A i B svaki jednom zastupniku donose gubitak, pa sami padaju; spojeni u paket A+B mogu pasti u zeleno polje u kojem oba dobivaju i tada prolaze."
//| fig-alt: "Ravnina s dobitkom zastupnika 1 na vodoravnoj i zastupnika 2 na okomitoj osi, podijeljena na četiri kvadranta crtama kroz ishodište. Gornji desni kvadrant, gdje oba dobivaju, osjenčan je zeleno. Točka A je dolje desno, B gore lijevo, a njihov zbroj A+B leži u zelenom polju kad je dobitak veći od gubitka."
{
const g = lr_controls.g, l = lr_controls.l;
const A = {x: g, y: -l}, B = {x: -l, y: g}, AB = {x: g - l, y: g - l};
const passes = AB.x > 0 && AB.y > 0;
return Plot.plot({
width: 540,
height: 500,
marginLeft: 56,
marginTop: 52,
marginBottom: 50,
style: {fontSize: "12px", fontFamily: "Public Sans, system-ui, sans-serif", color: "#3A332D"},
x: {label: "Dobitak / gubitak zastupnika 1 →", domain: [-10, 10]},
y: {label: "↑ Dobitak / gubitak zastupnika 2", domain: [-10, 10]},
marks: [
Plot.rect([{x1: 0, x2: 10, y1: 0, y2: 10}], {x1: "x1", x2: "x2", y1: "y1", y2: "y2", fill: "#4A6B5C", fillOpacity: 0.13}),
Plot.text([{x: 9.6, y: 9.4}], {x: "x", y: "y", text: ["oba dobivaju"], textAnchor: "end", fill: "#4A6B5C", fontSize: 11, fontWeight: 600}),
Plot.ruleX([0], {stroke: "#1C1916", strokeWidth: 1}),
Plot.ruleY([0], {stroke: "#1C1916", strokeWidth: 1}),
Plot.link([{x1: A.x, y1: A.y, x2: AB.x, y2: AB.y}], {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2", stroke: "#6B6357", strokeDasharray: "3,3"}),
Plot.link([{x1: B.x, y1: B.y, x2: AB.x, y2: AB.y}], {x1: "x1", y1: "y1", x2: "x2", y2: "y2", stroke: "#6B6357", strokeDasharray: "3,3"}),
Plot.dot([A], {x: "x", y: "y", r: 6, fill: "#6B1F26", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.dot([B], {x: "x", y: "y", r: 6, fill: "#4A6B5C", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.dot([AB], {x: "x", y: "y", r: 7, fill: "#1C1916", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
Plot.text([A], {x: "x", y: "y", text: ["A"], dx: 12, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#6B1F26"}),
Plot.text([B], {x: "x", y: "y", text: ["B"], dx: -12, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#4A6B5C"}),
Plot.text([AB], {x: "x", y: "y", text: ["A+B"], dy: -14, fontSize: 14, fontWeight: 700, fill: "#1C1916"}),
Plot.text([`Paket A+B ${passes ? "prolazi (oba dobivaju)" : "pada"}`],
{frameAnchor: "top", dy: -32, fontSize: 13, fontWeight: 700, fill: passes ? "#1C7C54" : "#6B1F26"})
]
});
}
```
**Što isprobati.** (1) Postavite dobitak veći od gubitka i točka A+B sleti u zeleno polje u kojem oba zastupnika dobivaju, pa paket prolazi iako bi svaki projekt zasebno pao. (2) Smanjite dobitak ispod gubitka i A+B padne u suprotni kut, pa trgovina glasovima više nije obostrano korisna. (3) Primijetite da pojedinačni projekti A i B uvijek leže izvan zelenog polja, jer svaki jednom zastupniku donosi gubitak, a tek ih spajanje čini prihvatljivima objema stranama.
:::
::: {.content-visible when-format="pdf"}
```{r}
#| label: fig-logrolling-print
#| echo: false
#| fig-cap: "Trgovanje glasovima na ravnini dobitaka dvaju zastupnika. Projekti A i B svaki jednom zastupniku donose gubitak, pa sami padaju; spojeni u paket A+B mogu pasti u zeleno polje u kojem oba dobivaju i tada prolaze."
#| fig-alt: "Ravnina s dobitkom zastupnika 1 na vodoravnoj i zastupnika 2 na okomitoj osi, podijeljena na četiri kvadranta crtama kroz ishodište. Gornji desni kvadrant, gdje oba dobivaju, osjenčan je zeleno. Točka A je dolje desno, B gore lijevo, a njihov zbroj A+B leži u zelenom polju kad je dobitak veći od gubitka."
#| fig-width: 5.4
#| fig-height: 5.0
# Statički PDF blizanac interaktivnog OJS grafa (zadane vrijednosti: g = 6, l = 4).
source("R/setup.R")
g <- 6; l <- 4
A <- c(g, -l); B <- c(-l, g); AB <- c(g - l, g - l)
passes <- AB[1] > 0 && AB[2] > 0
pts <- data.frame(
x = c(A[1], B[1], AB[1]),
y = c(A[2], B[2], AB[2]),
lab = c("A", "B", "A+B"),
col = c("#4D4D4D", "#7A7A7A", "#000000")
)
ggplot() +
annotate("rect", xmin = 0, xmax = 10, ymin = 0, ymax = 10, fill = "#7A7A7A", alpha = 0.13) +
annotate("text", x = 9.6, y = 9.4, label = "oba dobivaju", hjust = 1, color = "#7A7A7A", fontface = "bold", size = 3.4) +
geom_hline(yintercept = 0, color = "#000000", linewidth = 0.5) +
geom_vline(xintercept = 0, color = "#000000", linewidth = 0.5) +
geom_segment(aes(x = A[1], y = A[2], xend = AB[1], yend = AB[2]), linetype = "dashed", color = "#8C8C8C", linewidth = 0.4) +
geom_segment(aes(x = B[1], y = B[2], xend = AB[1], yend = AB[2]), linetype = "dashed", color = "#8C8C8C", linewidth = 0.4) +
geom_point(data = pts, aes(x, y), size = 4, shape = 21, fill = pts$col, color = "white", stroke = 1.1) +
annotate("text", x = A[1] + 0.7, y = A[2], label = "A", color = "#4D4D4D", fontface = "bold", size = 5) +
annotate("text", x = B[1] - 0.7, y = B[2], label = "B", color = "#7A7A7A", fontface = "bold", size = 5) +
annotate("text", x = AB[1], y = AB[2] + 0.9, label = "A+B", color = "#000000", fontface = "bold", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = 9.6,
label = if (passes) "Paket A+B prolazi (oba dobivaju)" else "Paket A+B pada",
fontface = "bold", size = 4, color = if (passes) "#5C5C5C" else "#4D4D4D") +
scale_x_continuous(limits = c(-10, 10), expand = c(0, 0)) +
scale_y_continuous(limits = c(-10, 10), expand = c(0, 0)) +
labs(x = "Dobitak / gubitak zastupnika 1", y = "Dobitak / gubitak zastupnika 2") +
theme_pubfin()
```
:::
::: {.callout-praksa}
Pri usvajanju državnog proračuna u Hrvatskoj zastupnici iz različitih regija često uzajamno podržavaju infrastrukturne projekte (autoceste, luke, bolnice), iako bi svaki projekt zasebno teško prošao, pa su rezultat brojni „politički" projekti niske ekonomske opravdanosti. Na razini EU pregovori o Višegodišnjem financijskom okviru i fondu NextGenerationEU uključuju pakete u kojima se poljoprivredne subvencije trguju za kohezijske ili zelene fondove, pa je konačni paket veći i skuplji nego što bi ga ijedna zemlja samostalno podržala. Klasičan svjetski primjer iste logike jest američki *pork-barrel*, u kojem kongresnici podržavaju projekte kolega u zamjenu za podršku vlastitima.[^wp-ch06c]
:::
[^wp-ch06c]: Daljnje čitanje: Weingast, Shepsle i Johnsen (1981), [*The Political Economy of Benefits and Costs: A Neoclassical Approach to Distributive Politics*](https://doi.org/10.1086/260997) (JPE).
Takvi kompromisi često vode do neintuitivnih i neučinkovitih ishoda. @tbl-kompromisi sažima njihove tipične oblike i posljedice za javne financije.
| Tip kompromisa | Karakteristika | Posljedica za javne financije |
|---|---|---|
| *Logrolling* (trgovanje) | zbroj projekata umjesto prosjeka | prekomjerna potrošnja, *pork-barrel* efekti |
| Polovičan kompromis | ni A ni B, nego slaba verzija C | „bačeni novac", preskupo da bi bilo beznačajno |
| Paketiranje | veliki *omnibus* zakoni | teško je procijeniti stvarne učinke |
| Strateška neodređenost | detalji se ostavljaju za kasnije | jačanje birokratske moći i pravne nesigurnosti |
: Problemi političkih kompromisa. Izrada autora prema @buchanan1962 i @mueller1989. {#tbl-kompromisi}
## Posljedice za javne politike
Teorija kolektivnog izbora nije samo apstraktna logička vježba. Ona ima izravne posljedice za razumijevanje javnih politika. Prvo, pokazuje da „volja naroda" nije uvijek jednoznačno definiran pojam jer ovisi o pravilima kroz koja se izražava. Drugo, objašnjava zašto je **kontrola dnevnog reda** izvor moći, budući da onaj tko određuje o čemu se i kojim redoslijedom glasuje oblikuje ishod. Treće, opravdava postojanje **ustavnih i proceduralnih pravila** koja ograničavaju proizvoljnost i daju odlukama stabilnost i predvidljivost, primjerice pravila pojačane većine (*supermajority*) za poreze i dugoročne fiskalne obveze [@buchanan1962; @mueller1989].
Ako „društveni izbor" nije rezultat racionalnog traženja općeg blagostanja, nego ishod nesavršenih pravila i strateškog ponašanja, tada mnoge neučinkovite ili fiskalno neodržive politike prestaju biti anomalija i postaju predvidiv ishod institucionalnog dizajna. Kada sama agregacija preferencija može proizvesti nedosljedne ili manipulabilne ishode, moramo pažljivo analizirati konkretne aktere koji djeluju unutar tih pravila i koji ih, kad mogu, oblikuju u svoju korist, a to su birači, stranke, interesne skupine i birokracija.
Condorcet i Arrow pokazali su da ni logički savršen mehanizam agregacije ne postoji, jednovršne preferencije i medijanski glasač da stabilnost dolazi kao poseban slučaj, a moć dnevnoga reda da konačni ishod ovisi o tome tko oblikuje proceduru. Zajednička je pouka da pravila nisu neutralna pozadina kolektivne odluke, nego njezin tvorac. Upravo zato analiza javnih politika ne može stati na pitanju što birači žele, nego mora prijeći na pitanje pod kojim pravilima i kroz koje aktere se te želje pretaču u odluke. Tim akterima, počevši od stranaka i izbornog natjecanja, posvećena su poglavlja koja slijede.
::: {.sazetak-panel}
## Sažetak
Kolektivni izbor pretvara raznolike pojedinačne preferencije u jednu društvenu odluku, no taj prijelaz nije tehnička formalnost. Condorcetov paradoks pokazuje da većinsko glasovanje može biti ciklično, a Arrowljev teorem nemogućnosti da nijedno pravilo ne može istodobno zadovoljiti sve razumne uvjete pravednosti i dosljednosti. Jednovršne preferencije i medijanski glasač vraćaju stabilnost, ali samo kao poseban slučaj, dok kontrola dnevnog reda otkriva da onaj tko određuje redoslijed glasovanja oblikuje i ishod. Zato „volja naroda" ovisi o pravilima kroz koja se izražava, a mnoge neučinkovite politike postaju predvidiv ishod institucionalnog dizajna, a ne anomalija. Tko su akteri koji ta pravila koriste i kako se natječu za glas, pokazuje analiza koja slijedi, počevši od političkih stranaka i izbornog natjecanja.
:::
::: {.callout-vjezba}
Otvorite interaktivni graf iznad. Krenite od početnog rasporeda koji proizvodi ciklus, a zatim drugom biraču promijenite samo jedno mjesto u rang-listi i pratite kako se na grafu pojavljuje Condorcetov pobjednik. Pokušajte naći barem dva različita rasporeda koji daju ciklus i barem dva koja daju stabilnog pobjednika. Zatim razmislite računski. S tri birača i tri opcije svaki birač bira jednu od šest mogućih rang-lista, pa postoji $6^{3} = 216$ kombinacija. Koliko ih proizvodi ciklus? Ciklus nastaje samo kada sva tri birača imaju različite rang-liste koje „rotiraju" u istom smjeru, a takvih je rasporeda dvanaest. Izračunajte udio cikličkih ishoda i objasnite zašto je tako malen udio ipak dovoljan da problem agende učini ozbiljnim u stvarnoj politici, gdje se ne odlučuje o tri, nego o desecima alternativa istodobno.
:::